Aplicaciones en economía

Aplicaciones a la Economía:
En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquierresultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.
Oferta y Demanda Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.
El numero de unidades delbien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios estánaltos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:
D = _(p(t)),p´(t)
Llamamos la función de demanda.
Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S.Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:
S = g(p(t), p´(t)
Llamamos g a la función oferta.
Principio económico de laoferta y la demanda: El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir: _(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))
Las formas que debería tener y g son las siguientes: D = _(p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3
S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3
donde A´S y B´S sonconstantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:
A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3
(A2 − B2)p´(t) + (A1 − B1)p(t) = B3 − A3
Asumamos que A1″B1, A2″B2 y A3″B3. Entonces podríamos escribir la formula como: p´(t) + (A1−B1/A2−B2)p(t) = B3−A3/A2−B2
Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado: p(t) =B3−A3/A1−B1 + [Po− (B3−A3/A1−B1)]e
Caso I: Si Po = (B3−A3)/(A1−B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.
Caso II: Si (A1−B1)/A2−B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.
Caso III: Si (A1−B1)/A2−B2)(B3−A3)/A1−B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cualpuede resultar en un cambio a la ecuación (A2 −B2)p´(t) + (A1 − B1)p(t) = B3 −A3.
Ejemplo: La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por
D = 48 − 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) +4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
Solución: El preciop(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es, 48 − 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18
Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado:
p(t) = 6 + 4e
De este resultado vemos que, sí t!”, p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.
Inventarios: Si la oferta...