Aplicaciones Integral

MOISES VILLENA MUÑOZ
Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor delárea bajo unacurva, se particiona la región plana y luego se hace unasuma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a unaintegral definida.Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada.Considerandosólo una partición representativa, un rectángulo diferencial querepresente a cualquier partición de la región planaEl área del elemento diferencial será:
dx x f hdxdA
)(
==
Por tanto, el área de laregión plana es:
∫
=
ba
dx x f A
)(
4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:El área del elemento diferencial será:
[ ]
dx xg x f hdxdA
)()(
−==
66

MOISESVILLENA MUÑOZ
Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
Entonces el área de la región plana esta dada por:
[ ]
∫
−=
ba
dx xg x f A
)()(
CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, sigalossiguientes pasos:1.
Dibuje las curvas dadas.2.
Identifique la región plana. Aquí se definen loslímites de integración.3.
Defina el rectángulo diferencial, el elementorepresentativo.4.
Defina laintegral o las integrales para él área.5.
Evalúe la integral definida.
Ejemplo 1
Calcular el valor del área de la región limitada por
⎪⎩⎪⎨⎧−=+=
24
2
x y x y
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos enun mismo plano
4
+=
x y
y
2
2
−=
x y
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.PASO 3: Definimos el elemento diferencial.PASO 4: Laintegral definida para el área sería:
( )
( )
[ ]
∫
−
−−+=
322
24
dx x x A
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
( )
230)2(30624
22
−=∨==+−=−−−=+
x x x x x x x x
67

MOISESVILLENA MUÑOZ
Cap. 4 Aplicaciones de la Integral
( )
( )
[ ] [ ]
( ) ( )( )
651223818299262232)3(62333623624
23233223322322
=−+−++−=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+−+−−−⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++−=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++−=++−=−−+=...