Aplicaciones Lineales Matemáticas I

Tema 4: Aplicaciones lineales
1 Definición, primeras propiedades y ejemplos

Definición 1.1 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V → W se dice que es una aplicación lineal si cumple las dos siguientes propiedades: 1. Para todo par de vectores u, v ∈ V f (u + v) = f (u) + f (v) 2. Para todo vector u ∈ V y todo escalar α ∈ K f (αu) = αf (u) Propiedades: 1. Dadauna aplicación f : V → W entre dos espacios vectoriales V y W se tiene que f es lineal si y sólo si f (αu + βv) = αf (u) + βf (v) para todo par de vectores u, v ∈ V y todo par de escalares α, β ∈ K (así las dos propiedades de la definición pueden resumirse sólo en una). 2. Si f : V → W es una aplicación lineal, entonces f (0V ) = 0W . La primera propiedad (que resume las dos anteriores de ladefinición) nos dice que las aplicaciones lineales son las que transforman combinaciones lineales de (dos o más) vectores del espacio vectorial inicial en las correspondientes combinaciones lineales de sus respectivas imágenes. La última propiedad nos proporciona un criterio útil, en ocasiones, para asegurar que ciertas aplicaciones son lineales: las que no cumplan el requisito anterior, es decir, lasaplicaciones entre espacios vectoriales, en las que el vector no nulo tenga imagen no nula. Ejemplo 1.2 1. La aplicación f : R2 → R3 definida por f (x, y) = (−x + 5y, 2x, 0) es lineal. Para probarlo cojamos vectores (a, b), (c, d) ∈ R2 y escalares arbitrarios α, β ∈ R. Entonces f ([α(a, b) + β(c, d)] = f (αa + βc, αb + βd) = (−αa − βc + 5αb + 5βd, 2αa + 2βc, 0) αf (a, b)+βf (c, d) = α(−a+5b, 2a,0)+β(−c+5d, 2c, 0) = (−αa+5αb, 2αa, 0)+(−βc+β5d, 2βc, 0) y ambas cosas coinciden, con lo que la aplicación es lineal.

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2. La aplicación f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (2, x − y) no es lineal, pues basta observar que f (0, 0) = (2, 0) 6= (0, 0). 3. La aplicación f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (xy, 2x) no es lineal a pesar de que f (0, 0) = (0, 0). Para probarlo cojamos dos vectores (a, b), (c,d) ∈ R2 y dos escalares α, β ∈ R. Entonces f [α(a, b) + β(c, d)] = f (αa + βc, αb + βd)= ` = [(αa + βc) · (αb + βd), 2(αa + βc)] y αf (a, b) + βf (c, d) = α(ab, 2a) + β(cd, 2c) = (αab + βcd, 2αa + 2βc) y ambas cosas no tienen por qué coincidir, pues si tomamos los valores α = 2, β = 0, a = c = b = d = 1 se tiene que lo primero vale (4, 4) y lo segundo vale (2, 4). 4. La aplicación f : R2 → Rdefinida por f (x, y) = −2x + 3y es lineal. Para probarlo cojamos vectores (a, b), (c, d) ∈ R2 y escalares cualesquiera α, β ∈ R. Entonces f (α(a, b) + β(c, d)) = f (αa + βc, αb + βd) = −2(αa + βc) + 3(αb + βd) y αf (a, b) + βf (c, d) = α(−2a + 3b) + β(−2c + 3d) = −2αa + 3αb − 2βc + 3βd y ambas cosas coinciden. Cuando tengamos una aplicación f : Rn → Rm a la expresión del vector f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈Rm la denominaremos expresión analítica de f . Así en el primer ejemplo de los anteriores en el que teníamos una aplicación lineal su expresión analítica es f (x, y) = (−x + 5y, 2x, 0) Observación 1.3 En la práctica para ver que una aplicación f : Rn → Rm es lineal basta observar si en cada una de las componentes de la expresión analítica de f aparecen CL de las incógnitas genéricas x1 , x2 , ...,xn de Rn .

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Núcleo e imagen
f :V →W

Dada una aplicación lineal se llama núcleo de f al siguiente conjunto de vectores de V ker f = {v ∈ V |f (v) = 0} Recordemos que la imagen de la aplicación f es el siguiente conjunto de vectores de W Im f = {w ∈ W |∃v ∈ V cumpliendo que f (v) = w} = {f (v)|v ∈ V } El siguiente resultado nos dice que ambos conjuntos son subespacios de losrespectivos espacios vectoriales a los que pertenecen. Propiedad: Si f : V → W es una aplicación lineal entonces ker f ≤ V Im f ≤ W

En la práctica, del núcleo de una aplicación lineal podremos hallar fácilmente las ecuaciones implícitas, y de la imagen un SG. Lo primero lo veremos en los ejemplos más detalladamente. En cuanto a lo último he aquí la propiedad exacta: Propiedad: Si f : V → W...