Aplicaciones lineales

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Sea A y B conjuntos no vacios arbitrarios. Supongamos que a cada elemento de A se le asigna un único elemento de B. La colección de tales asignaciones se denomina una aplicación de A en B. El conjunto A se llama el dominio de la aplicación y el conjunto B, su codominio. Una aplicación f de A en B se denota por
F: A→BEscribimos f(a), LEIDO <<f de a >>, para representar el elemento de B que f asigna al elemento
a A. Recibe el nombre de valor de f en a o imagen de a bajo f.
Nota: El termino función se usara como sinónimo de aplicación, aunque en algunos textos se reserva la palabra función para designar las aplicaciones de valores reales o complejos, es decir, las que aplican un conjunto en R oC.
Consideremos una aplicación f: A B. Si A´ es cualquier subconjunto de A, F (A´) denota el conjunto de imágenes de A´; Y si B´ es cualquier subconjunto de B, F (B´) denota el conjunto de elementos de A cuyas imágenes están en B´:
F (A´)= {f(a): a ϵ A´} Y F ¯¹ (B´)= {a ϵ A: f(a) ϵB´}
Llamamos a f (A´) la imagen de A´ Y a f¯¹ (B´) la imagen inversa opreimagen de B.´ En particular, el conjunto de todas las imágenes, o sea, f(A), se conoce como la imagen (o recorrido) de f.
A cada aplicaciones f: A → B le corresponden el subconjunto de A X B dado por {(a(a)): aϵA}.
Este conjunto se denomina el grafico de f. Se dice que dos aplicaciones f: A → B y g: A → B son iguales, escrito f=g, si f(a)= g(a) para todo a ϵ A, esto es, si tiene elmismo grafico. Así pues, no distinguiremos entre una función y su grafico. La negación de f=g se escribe f≠ g y es la preposición:
Existe un a ϵ A para el cual f(a) ≠ g(a)

A veces la flecha << con barra >> se utiliza para denotar la imagen de un elemento arbitrario x A bajo una aplicación f: A → B, escribiendoX → f(x)
Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo
a) Sea f:R→ R La aplicación que asigna a cada número real x su cuadro x²:

X→ X ² o f(x)=x²
La imagen de -3 es 9, de modo que escribimos f (-3)=9

b) Consideremos la matriz 2 x 3 A= ₁ ₋₃ ₅ si expresamos los vectores en₂ ₄ ₋₁

R³ y R² como vectores columnas, A determina la aplicación f: R ³→R² definida por v→Av esto es Fv=Av vϵR3
Asi, si v= 3 entonces Fv= 1 3 5 =-10 12
1 2 4 -1
-2

Nota: Toda matriz m x n sobre un cuerpo K determina la aplicación f :Kⁿ→K  ͫ definidad por
v→Av
Donde los vectores en kⁿ y k  ͫ seescriben como vectores columna. Por razones de conveniencia. Denotaremos usualmente la aplicación precedente por A, el mismo símbolo empleado para la matriz.

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
1.
2.
3.
4.

Consideremos dos aplicaciones f: A→B y g: B→C como se ilustra abajo:
A→B→C
Sea aϵA.Entonces f aϵB, que es el dominio de g.Por tanto, podemos obtener la
imajen de f de abajo la Aplicación g, es decir, g (f(a)).Esta aplicación
a→g(fa)
De A en C se llama la composición de f y g y se denota por g o f. En otras palabras, (g o f) :A→C es la aplicación definida por
(g o f)(a) = g (f(a))
Nuestro primer teorema nos dice que lacomposición de aplicaciones satisface la ley asociativa.
Teorema: Sean f: A→B, g: B→C y h: C→D.En tal caso, h ⃘ (g ⃘ f)= (h ⃘g) ⃘f.
Demostremos ahora este teorema. Si a € A,
(h ⃘ (g ⃘ f))(a)= h ((g ⃘ f) (a)) = h (g (f (a)))
y ((h ⃘ g) ⃘ f )(a)= (h ⃘ g)(f(a))= h(g(f(a)))
De este modo, (h (g f))(a)= ((h g)...
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