Aplicaciones ortogonales

3. Defínase lo que son aplicaciones ortogonales, transformaciones ortogonales,
matrices ortogonales y descríbase un método de diagonalización de matricescuadradas simétricas.
 Aplicación ortogonal:

Se llama aplicación ortogonal a un endomorfismo f : V  V sobre un espacio vectorial euclídeo (V, <  ,  >) queconserva el producto escalar, es decir que:

 f (u ), f (v)  u, v ,
 Transformación ortogonal:

u, v V

Una transformación ortogonal f de unespacio euclideo U es un endomorfismo que conserva el producto escalar:

 f x  f y  xy

 

para cualesquie x, y U . ra



Matriz ortogonal:Sea A una matriz cuadrada n x n con elementos reales. Se dice que A es una matriz ortogonal si se verifica AAT = In. Obsérvese que toda matriz ortogonal esinversible. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es una matriz ortogonal. 2. AT = A-1. 3. Los vectores fila (o columna) de A forman una base ortonormaldel espacio vectorial euclídeo usual Rn.



Método de diagonalización de matrices cuadradas simétricas:

Sea ahora una matriz simétrica A  M n x n (R).Se verifica que dicha matriz es siempre diagonalizable y además la base que la diagonaliza puede construirse ortonormal, ya que si u  Ker (A - λ  I n ) y v Ker (A -   I n ) y λ   , entonces v, u  0. Así, en el caso de matrices simétricas podemos escribir que:

A  P T  D  P.
Donde D es la correspondientematriz diagonal.

http://www.aq.upm.es/Departamentos/Matematicas/srueda/srueda_archivos/a%20I/Apuntes/iv07.pdf http://www.cs.buap.mx/~fjrobles/algebra.pdf