Aplicaciones a la paleontología

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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas en la Paleontología
Al analizar el hueso de un fósil se encontró que la cantidad de carbono 14 era la centésima parte de la cantidad original. ¿Cuál es la edaddel fósil?
Solución
Existe un método basado en la cantidad de carbono 14 (C-14) que existe en los fósiles. El químico Willard Libby invento la teoría de la datación como radiocarbono, la cual se basaen que la razón de la cantidad de carbono 14 en la atmosfera es constante, lo que trae como consecuencia que la cantidad de este isótopo en los organismos es proporcional al que existe en laatmósfera. Al morir un organismo deja de absorber carbono 14, es decir la cantidad absorbida de este elemento cesa, y al ser un elemento radiactivo se va desintegrando (recuerda que la vida media de unelemento radioactivo es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de este elemento). Entonces basta con comparar la cantidad proporcional de carbono 14 en el fósil con la cantidad constante en laatmósfera. Para hacer esto se toma en cuenta la vida media del carbono 14 que es aproximadamente de 56000 años.
Ahora regresemos a nuestro problema: digamos que c0 es la cantidad inicial de carbono 14en el fósil, entonces la variación de esta cantidad respecto al tiempo es proporcional a la cantidad inicial, es decir:
dC0dt=kC0
En donde
C0= C0(0)
Al resolverlo se obtiene:
C0(t)=C0ekt
Paraobtener el valor k, consideremos que la vida media del Carbono 14 es de 5600 años, esto quiere decir que:
C02=C05600
C02=C0e5600k

Se divide entre C0
12=e5600k
Se aplica el logaritmo natural enambos miembros
ln12=ln e5600k
ln12=5600k
ln125600=k
k=-0.00012378
Por tanto,
C0t=C0e-0.00012378t
Si nos dicen que la cantidad de carbono 14 era la centésima parte de la cantidad original,entonces basta con plantear la siguiente igualdad.
C0100=C0e-0.00012378t
1100=e-0.00012378t
ln1100=lne-0.00012378t
ln1100=-0.00012378t
ln1100-0.00012378=t
De donde
t≈37204
Por lo tanto, el fósil...
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