Aplicacionesde espacios vectoriales

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“AÑO DE LA UNIÓN NACIONAL CONTRA
LA CRISIS MUNDIAL”

TEMA : APLICACCIONES DE ESPACIOS VECTORIALES

ALUMNOS : ALARCON CANOVA PIERO
PACHERRES VINCES CLAUDIA
PERES LÓPEZ KELLY
VÁSQUEZ ALEGRÍA WINDY

CURSO : ALGEBRA LINEAL

PROFESORA : MARÍAARAEDO

CICLO : SEGUNDO

FECHA : 18 DE MARZO DEL 2009

APLICACIONES DE ESPACIOS VECTORIALES

1.-Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de primer orden con coeficientes constantes
Sea f una función real de variable real, y sea f' su derivada. Una ecuación de la forma
f'(x) + P(x) f(x) = Q(x) (1)
donde P(x) y Q(x) son funciones conocidas y continuas,recibe el nombre de ecuación diferencial lineal de primer orden.
La ecuación
f'(x) + P(x) f(x) = 0 (2)
recibe el nombre de ecuación diferencial homogénea o reducida correspondiente a la ecuación (1).

Teorema 1: El conjunto de soluciones de la ecuación diferencial homogénea de la ecuación (2) es un subespacio vectonal del espacio de las funciones derivables.

Demostración. Dadas dossoluciones cualesquiera, g(x) y h(x), de la ecuación (2) se satisface

[g'(x) + P(x)g(x)J + [h'(x) + P(x)h(x)J = (g'(x) + h'(x)) + P(x)(g(x) + h(x))

= (g(x) + h(x))’ + P(x)(g(x) + h(x))
= O

por tanto, la suma de dos soluciones de (2) es otra solución de la misma ecuación. Si ( es un número real cualquiera, entonces

( (g'(x) +P(x)g(x)) = ((g(x))' + P(x)( (g(x)) = O

es decir, al multiplicar una solución de (2) por un escalar, se obtiene una nueva solución de dicha ecuación.
Obviamente, la función idénticamente nula es solución de (2).

Nosotros vamos a ocupamos, por simplicidad. de resolver el caso más sencillo de la ecuación (2), es decir, de aquél en el que P(x) = k.

Consideremos por tanto la ecuacióndiferencial homogénea, con coeficientes constantes

f'(x) + kf(x) = 0 (3)

El siguiente teorema demuestra que el subespacio vectorial de las soluciones de dicha ecuación es de dimensión uno, encontrando una base del mismo.

Teorema 2: El conjunto de soluciones de la ecuación diferencial de primer orden homogénea, con coeficientes constantes. (3) es un espacio vectorialde dimensión uno, siendo {e-kx:} una base.

Demostración. Por el teorema 1 sabemos que el conjunto de soluciones de la ecuación (3) tiene estructura de subespacio vectorial. Vamos a probar a continuación que {e-kx} es una base del mismo. La función e-kx satisface

(e-kx)’ + ke-kx = -ke-kx + ke-kx = 0

es decir, es solución de la ecuación (3)

Sea h(x) una solución cualquiera de (3). Lafunción

q(x) = h(x)ekx

satisface

q’(x) = h’(x)ekx+kh(x)ekx= (h’(x)+kh(x)) ekx = 0

por tanto q(x) = C, de donde se deduce que

h(x) = Ce-kx,

Luego {e-kx} es una base del subespacio vectorial de la soluciones de la ecuación (3).

Del teorema anterior se tiene que una solución de la ecuación diferencial (8) se escribe como producto de un escalar C por la función e-kx, donde C es unaconstante arbitraria. Para determinar dicha constante hace falta una condición adicional, por ejemplo, conocer el valor de la función que se busca en un punto. Esta condición adicional se llama condición inicial.

Ejemplo 1: Se sabe que el crecimiento del número de bacterias de un cultivo, n(t) en el instante t, es proporcional a n(t). En el instante t = 0 hay n0 bacterias. Calcular cuántasbacterias hay en el instante t.

Solución. Del enunciado del problema se tiene que el crecimiento o variación del número de bacterias n(t), que viene dado por la derivada, es proporcional a n(t), es decir

n'(t) = kn(t)

luego n'(t) - kn(t) = 0, así pues la solución es

n(t) = C ekt

Como n(0) = n0, se tiene C = no, con lo que

n(t) = no ekt,

donde k...
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