Aplicación de la derivada

APLICACIÓN DE LA DERIVADA
1. Dada una hoja cuadriculada de lado a, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadradas iguales y doblando convenientemente la parterestante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible.
Solución:
El lado del Cuadrado cortado =X entonces el volumen delacaja es:
VX=Xa+2X2 , 0<X<a2
V'X=a+2X2-4X(a-2X)
V'X= a-2Xa-6X=0⇒X=a2 , X=a6V''X=-8A+24X⇒V''a6=-8a+4a=-4a<0
⇒ ∃ máximo en = a6
Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para obtener volumen máximo es X = a6

2. Un rectángulo a de tener un área de 64 pulgadascuadradas, hallar sus dimensiones, deforma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mínima.
Solución:
Datos del problema:
A=XY=64⇒Y=64X , d=Y2+X²4fx=4096X²+X²4=16384+X42X Entonces
fx=x=X4-163842X²16384+X4=0 ⇒X4-16384=0 ,de donde X=±842
Como Y =64X ⇒Y=4422Luego las dimensiones son 4422 y 82 pulgadas.

3. Si un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener como volumen, encuéntrese las dimensionesque requieren la mínima cantidad de material.
Solución:
Datos del problema: V=πr2h de donde h=vπr2
At= πr2+ 2πrh entonces At= 2πr2 + 2vr
At(r)= 2πr2+ 2vr
A't(r)= 4πr2- 2vr2=0 ⇒r=3V2π
A''t(r)= 4π+- 4vr3⇒A''t(3V2π)=12 π>0⇒existe minimo en r=3V2π , h=34Vπ

4. Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los ejes dela elipse.

Solución:
La Ecuación dela elipse es: Xa22+Yb22=1
De donde: y = b a a2-x2
Condición del problema: A=xy = bx a a2-x2 ⇒Ax = bx a a2-x2, derivando
dAdx= b a a2-x2-...