Aplicación de la derivada

APLICACIONES DE LA DERIVADA
UNIDAD IV
A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las
funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica
de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener
información de las funciones a partir de suderivada y conocer más acerca de su comportamiento.
IV.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA
Si una función y = f (x) posee una derivada en el punto 1 x , la curva tiene una tangente en ( ) 1 1 P x , y
cuya pendiente es: ( ) 1 1 tan '
1
f x
dx
dy
m
x x
= = =
=
q .
Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:
( ) 1 1 y - y = m x - x . Por lotanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta
tangente en un punto de una curva es:
( ) 1 1
1
x x
dx
dy
y y
x x
- = -
=
Si m = 0 tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ¥ tiene tangente vertical a la curva.
x
y
Recta
Tangente
Recta
Normal
90°
P (x1,y1)
y = f(x)
Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando pordicho punto es
perpendicular a la recta tangente en él.
La condición de perpendicular entre dos rectas es:
1
1 1
1
1
1 2 2
x x dx
m dy
m m m
=
× = - ⇒ = - = -
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2
La ecuación de la recta normal en el punto ( 1 1 ) P x , y es:
( ) 1
1
1
1
1
x x
m
y y
x x
- = - -=
Ejemplos.
Hallar las ecuaciones de las recta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado.
1) y = 3x2 - 5x + 4 P(2,6)
Solución:
6 5 6(2) 5 12 5 7 1 2 = = - = - = - = x= x
dx
dy
m
y - 6 = 7(x - 2) ⇒ y - 6 = 7x -14 ⇒ 7x - y -8 = 0 (recta tangente).
7
1 1
1
2 = - = -
m
m
( 2) 7( 6) ( 2) 7 42 2
7
1
y - 6 = - x - ⇒ y - = - x - ⇒ y - = -x +
⇒ x + 7y - 44 = 0(recta normal).
2) y = 9x3 -12x - 5 P(-1,- 2)
Solución:
27 12 27( 1) 12 27 12 15 2
1
2
1 = = - = - - = - =
x=-
x
dx
dy
m
y - (- 2) =15(x - (-1)) ⇒ y + 2 =15(x +1) ⇒ y + 2 =15x +15
⇒ 15x - y +13 = 0 (recta tangente).
15
1 1
1
2 = - = -
m
m
( ) ( ( 1)) 15( 2) ( 1) 15 30 1
15
1
y - - 2 = - x - - ⇒ y + = - x + ⇒ y + = -x -
⇒ x +15y + 31= 0 (recta normal).
3) 



 =
2
12,
1
P
x
y
Solución:
4
1
2
1 1
2
2
1 2 = = - = - = -
x= dx x
dy
m
( ) ( 2) 4 2 2 4 4 0
2
1
2 4
4
1
2
1 = - + ⇒ + - = - ⇒ - - = 



 y - = - x - ⇒ y - x y x x y
(recta tangente).
4
4
1
1 1
1
2 =
-
= - = -
m
m
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3
( ) 4 8 2 1 8 16
2
14 2
2
1 y - = x - ⇒ y - = x - ⇒ y - = x -
⇒ 8x - 2y -15 = 0 (recta normal).
4) - x2 y + 6x - y2x2 + 4y -12 = 0 P(0,3)
Solución:
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 2
3
4
6
0 2 0 3 4
2 0 3 6 2 0 3
2 4
2 6 2
2 2
2
0,3
2 2
2
1 = - = -
- - +
= - +
- - +
= - +
¶
¶
¶
- ¶
= =
x x y
xy xy
y
f
x
f
dx
dy
m
y (x 0) 2(y 3) 3x 2y 6 3x
2
3
- 3 = - - ⇒ - = - ⇒ - = -
⇒ 3x +2y - 6 = 0 (recta tangente).
3
2
6
4
4
6
1 1
1
2 = =
-
= - = -
m
m
( 0) 3( 3) 2 3 9 2 2 3 9 0
3
2
y -3 = x - ⇒ y - = x ⇒ y - = x ⇒ x - y + = (recta normal).
5) y = -7x4 +12x2 + 4x P(1,9)
Solución:
28 24 4 28(1) 24(1) 4 28 24 4 0 3
1
3
1 = = - + + = - + + = - + + =
x=
x x
dx
dy
m
y - 9 = 0(x -1) ⇒ y - 9 = 0 ⇒ y = 9 (recta tangente).
0
1 1
1
2 = - = -
m
m (pendientede 90°, o sea, es infinita)
( 1) 0( 9) ( 1) 0 1 1
0
1
y -9 = - x - ⇒ y - = - x - ⇒ = -x + ⇒ x = (recta normal).
Gráficamente, esto es:
x
4
6
10
2
y
-1 2
8
1
y = 9
x = 1
Recta
Normal
Recta
Tangente
f(x) = -7x4 + 12x2 + 4x
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4
IV.2 ÁNGULO ENTRE DOS CURVAS...