Aplicación de las derivadas

APLICACION DE DERIVADA
INTRODUCION
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Cálculo. 
Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para elvalor concreto de la variable. Un aspecto importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo.



















APLICACIÓN DE DERIVADAS


INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  alvalor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
[a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] = TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería.

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es ellímite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

APLICACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA
Consideremos la función espacio E= E (t).
La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasainstantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la rectatangente a la curva. Por lo tanto:

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a, .f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Es otra aplicación de la regla de la cadena.
Como ff -1= I, se tiene (ff –1)’(x)= f’ (f –1(x)) (f –1)’(x)=1, luego despejando
(F –1)’(x)= 1/f ’ (f –1)’(x),CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f’(a)>0 entonces f es creciente en el punto a.
La demostración de este resultado puede hacerse usando la definición de derivada y e concepto de límite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1).
Si f es derivable en un intervalo I y f’>0  en ese intervalo entonces f crece en I.
El recíproco no se cumple en general.
Ejemplo 5. La función y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f’ (0) =0.
Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a) 0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a.
Si f ‘’ 0; la función es de oferta
Si: f < 0; La función es de Demanda.



El punto de intersección de lasFunciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

Una Derivada es una Pendiente es una Razón o relación de Variación Instantánea.
Por tanto oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2; de la Oferta...