Aplicación de las ecuaciones diferenciales en el movimiento armónico simple amortiguado
Introducción
El movimiento Armónico Simple Amortiguado consiste, contrario al Movimiento Armónico Simpleen que en este tipo de movimiento la energía del sistema se ve disminuida a través del tiempo por cuanto existen fenómenos que disipan la energía tales como la fricción u otros amortiguadores.Hablando de Resortes:
Llegamos primero a la deducción de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio con amortiguación
Suponemos que las fuerzas de amortiguación son proporcionales a unapotencia de la velocidad instantánea. En particular que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de: dx/dt
Cuando no actúan otras fuerzas exteriores sobre el sistema se tiene que:
Segunda leyde Newton
Donde β es una constante de amortiguación (Positiva), pero el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora debe tener un sentido contrario al movimiento. Y k es la constante delresorte.
Dividiendo entre la masa (m), tenemos la ecuación diferencial del movimiento armónico simple amortiguado:
Solución de la Ecuación diferencial:
Para facilitarnos observar elpolinomio asociado a la ecuación diferencial realizamos un cambio de Variable:
Ya que tenemos dentro de la raíz cuadrada una resta, podemos visualizar que es lo que pasa cuando lo que tenemos dentrode la raíz es positivo, negativo o cero, por lo tanto se evalua los tres diferentes casos y observaremos gráficamente el comportamiento del sistema, ya que cada solución tendrá el siguiente Factor deamortiguación
Siendo que λ > 0 , ya que es el cociente de la constante de amortiguación y de la masa, y ambos valores mayores que cero, los desplazamientos de la masa cuando t→∞ se volveráninsignificantes. Basta con observar que tenemos en la exponencial (-λt) donde todos los valores serán negativos y mientras el tiempo crezca el numero al aplicarle la exponencial será cada vez mas...
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