aporte

Divisibilidad por 13:
Los divisores de 13 son: 1 y 13 ya que es número primo.
Algunos múltiplos  de 13 son: 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143, 156, 169, 182, ..., 234, 247, 260,  273, 286,...

Criterio 1: Un número es divisible por 13  cuando la suma de los productos de las  unidades, decenas, centenas,...  de dicho número  por los dígitos contenidos en la lista {1, –3, –4, –1, 3, 4} es  0  o múltiplo de 13.


Ejemplo 1: Veamos si  25971309  es divisible por 13.
Por tener 8 cifras y la lista sólo 6, se completa la lista  y se comienza de nuevo la lista utilizando sus dos primeros números.

Sumamos los productos  9·1 + 0·(–3) + 3·(–4) +  1·(–1) + 7·3 + 9·4 + 5·(1) + 2(–3) = 9 + 0 – 12 – 1 + 21 + 36 + 5 – 6 = 71 – 19 = 52  que  es múltiplo de 13 (13·4 = 52)  , luego 25971309  es divisible por  13.

Ejemplo 2: ¿La división 53927 entre 13 es exacta?
Si la división es exacta el resto es 0 y  significa que  13 divide a 53927.

La suma: 7·1 + 2(–3) + 9(–4) + 3(–1) + 5·3 = 7 – 6 – 36 – 3 + 15 = 7 + 15 – 6 – 36 – 3 = 22 – 45 = –23  no es múltiplo de 13, luego  la división pedida no es exacta.

Algunas otros criterios (reglas) para revisar son:  2, 3 y 4;5,10  -6-   -7-,   -11-,  -17-,    -19-,   -23-,   -29-,    -31-   41.  


Criterio  o  Regla del 13:
 
"Quita"  (elimina...) el último dígito del número a verificar; multiplica por 9 ese dígito y réstalo  del número obtenido. Un número es divisible por 13 si y sólo si este  nuevo resultado es 0 o múltiplo de 13. Esto se  puede usar tantas veces como se quiera hasta obtener un número más pequeño quesepamos  es o no  múltiplo de 13.

Ejemplo 3: Aplicarlo a  63174046.
"Quitando" la última cifra, que es 6, se obtiene 6317404 (decenas) y  6 (unidades) quedando:
6317404 – 6·9 = 6317350            "eliminamos" la última cifra 0, generando 631733 (decenas)   y  0 
631735 – 0·9 =  631735              si quitamos el 5 (última cifra)  se obtiene  63173 (decenas)  y  5
63173 – 5·9 = 63128             
6312 – 8·9 =  6240             
624 – 0·9 =  624                 
62 – 4·9  =  26   
que sabemos que es divisible por 13 (13·2 = 26),  por lo que 63174046  también lo es.

Ejemplo 4: Estudia si  49210 es múltiplo de 13.
Si "quitamos" la última cifra, que es 0, se obtiene 4921 (decenas)  y  0 (unidades).  y según regla:
4921 – 0·9 =  4921           eliminamos  el 1 (última cifra)  y tenemos 492 (decenas)
492 – 1·9 =  483            
48 – 3·9 = 48 – 27 = 21       que no es múltiplo de 13, por tanto  49210  no es divisible por 13.

Criterio 3:  "Suprimimos" (separamos...) las dos últimas cifras al número. Un número es divisible por 13  cuando la adición del número obtenido y  el triple del formado por esas dos últimas cifras es 0 o múltiplo de 13.

Ejemplo 5: ¿Es divisible por13 el número 567125?
Si "suprimimos"  sus dos  últimas cifras 25, se genera  5671 (centenas) y  25  y fijando criterio:
5671 + 3·25 = 5671 + 75 = 5746        separamos las dos últimas cifras  46   obtenemos  57(centenas)   y  46
57 + 3·46 = 57 + 138 = 195  que es múltiplo de 13 (13·15 = 195).

Llegados a este punto, no es conveniente seguir con este método, pero proseguimos con  cualesquierade los dos anteriores.

Así usando el anterior: 195  ––>  se quita última cifra
19 – 5·9 = 19 – 45 = – 26  que sabemos que es múltiplo de 13. Luego  567125  es divisible por 13.

Deducimos este criterio: multiplicando la ecuación del axioma 2  por 3 y haciendo la sustracción  23·13x = 299x (múltiplo de 13)  queda el resultado  x + 3y
Divisibilidad por 17:

Los divisores de 17 son 1 y 17;sólo dos porque es número primo.
Los múltiplos de 17 son: 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187, 204, 221, 238, 255, 272, 289, 306, 323,...
Revisamos más criterios que pueden  importar:   ' 7'   '11'   '13'    '19'   '23'   '29'   '31'  '39'   '47'.

Vamos a utilizar dos criterios:

Criterio 1: La sucesión de restos potenciales módulo 17 es: 1, 10, –2, –3, 4, 6, –8, 5, –1,...