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80 4. PRODUCTO INTERNO Y NORMA
Demostraci´ on:a)
u,v
+
w
=
v
+
w,u
=
v,u
+
w,u
=
v,u
+
w,u
=
u,v
+
u,w
b)
u,av
=
av,u
=
a
v,u
=
a
v,u
=
a
u,v
c)
u,
0
=
u,
0
.u
= 0
.
u,u
= 0
.
u,u
= 0
0
,u
=
0
.u,u
= 0
.
u,u
= 0
Ejemplos 89.Ejemplo 90.
Producto escalar en el espacio ordinario, sea
,
:
R
n
×
R
n
→
R
dado por:
u,v
=
n
i
=1
u
i
v
i
,
donde
u
= (
u
1
,...,u
n
)
y
v
= (
v
1
,...,v
n
)
. Es un producto interno en
R
n
, llamadoproducto interno habitual en
R
n
.
Ejemplo 91.
,
:
C
n
×
C
n
→
C
dado por
u,v
=
n
i
=1
u
i
v
i
, donde
u
= (
u
1
,...,u
n
)
y
v
= (
v
1
,...,v
n
)
. Es un producto interno en
C
n
llamado producto interno habitual en
C
n
.
Ejemplo 92.
Dado
C
[0
,
1] =
{
f
: [0
,
1]
→
R
tal que
f
es continua
}
, consider-amos
,
:
C
[0
,
1]
×
C
[0
,
1]
→
R
, definidopor
f,g
=
10
f
(
t
)
g
(
t
)
dt,
es un producto interno en
C
[0
,
1]
.
Ejemplo 93.
Si
R
[0
,
1] =
{
f
: [0
,
1]
→
R
tal que
f
es integrable Riemann
}
,
R
[0
,
1]
es un espacio vectorial real.
,
:
R
[0
,
1]
×R
[0
,
1]
→
R
definido como en el ejemploanterior no es un producto interno porque no se verifica la propiedad iv).Siconsideramos
f
: [0
,
1]
→
R
tal que
f
(
x
) =
1
x
= 1
/
2
,
0
∀
x
∈
[0
,
1]
−{
1
/
2
}
se tiene que
f
= 0
pero
f,f
=
10
f
2
(
t
)
dt
= 0
.
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2. NORMA 81
2. NormaDefinici´on 94.
Sea
V
un espacio vectorial. Una
norma
en
V
es una funci´ on tal que a cada vector
v
le hace corresponder un real
indicado como
v
, y cumple:
1.
λv
=
|
λ
|
v
∀
λ
∈
K,
∀
v
∈
V
,
2.
v
≥
0
∀
v
∈
V
;
v
= 0
⇔
v
=
0
,
3.
v
+
w
≤
v
+
w
(“desigualdad triangular”).
Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial en el que se defini´o una norma.
Ejemplos 95.Ejemplo 96.
Ejemplos de normas en
R
n
:
1.
(
a
1,...,a
n
)
p
= (
n
i
=1
|
a
i
|
p
)
1
/p
,
p
∈
N
. Cuando
p
= 2
, la propiedad triangular no es f´ acil de probar.
2.
(
a
1
,...,a
n
)
∞
=
max
{|
a
i
|}
.
Ejemplo 97.
Ejemplos de normas en
C
[
a,b
]
(espacio de las funciones realescontinuas en
[
a,b
]) :1.
f
p
= (
ba
|
f
(
t
)
|
p
dt
)
1
/p
.Cuando
p >
2
, la propiedad triangular no es f´ acil de probar.
2.
f
∞
=
max
{|
f
(
x
)
|
, a
≤
x
≤
b
}
.
Teorema 98.
Todo espacio vectorial con producto interno es un espacio vectorial normado definiendo la norma de la siguiente manera:
||
v
||
=
v,v
.
A esta norma la llamamos
norma inducida
por el producto interno.
Demostraci´on:Para demostrar elteorema debemos probar que la aplicaci´on
||||
es efectivamente unanorma o sea que verifica:1.
||
v
|| ≥
0
∀
v
∈
V
y
||
v
||
= 0
⇔
v
=
0;2.
||
av
||
=
|
a
|||
v
||∀
a
∈
K
, v
∈
V
;3.
||
u
+
v
|| ≤||
u
||
+
||
v
||∀
u,v
∈
V
(“desigualdad triangular”).Las demostraciones de (1) y (2) son simples a partir de las propiedades del productointerno y sedejan como ejercicio. La tercera propiedad de las normas, la “desigualdadtriangular”, se demostrar´a m´as adelante.
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82 4. PRODUCTO INTERNO Y NORMA
Observaci´on 99.
El rec´ıproco
no
es cierto, o sea hay normas que no son normasinducidas por ning´ un producto interno en
V
.
Esta situaci´on nos lleva a hacernos la siguiente pregunta: ¿qu´e condici´on quecumpla una...
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