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Páginas: 9 (2005 palabras) Publicado: 30 de enero de 2013
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80 4. PRODUCTO INTERNO Y NORMA
Demostraci´ on:a)

u,v
+
w

=

v
+
w,u

=

v,u

+

w,u

=

v,u

+

w,u

=

u,v

+

u,w

b)

u,av

=

av,u

=
a

v,u

=
a

v,u

=
a

u,v

c)

u, 
0

=

u,
0
.u

= 0
.

u,u

= 0
.
u,u

= 0

 
0
,u

=

0
.u,u

= 0
.

u,u

= 0
Ejemplos 89.Ejemplo 90.
Producto escalar en el espacio ordinario, sea 

,

:
R
n
×
R
n

R
dado por:

u,v

=
n

i
=1
u
i
v
i
,
donde
u
= (
u
1
,...,u
n
)

v
= (
v
1
,...,v
n
)
. Es un producto interno en 
R
n
, llamadoproducto interno habitual en 
R
n
.
Ejemplo 91.

,
:
C
n
×
C
n

C
dado por 

u,v

=
n

i
=1
u
i
v
i
, donde
u
= (
u
1
,...,u
n
)

v
= (
v
1
,...,v
n
)
. Es un producto interno en 
C
n
llamado producto interno habitual en 
C
n
.
Ejemplo 92.
Dado

[0
,
1] =
{

: [0
,
1]

R
tal que

es continua 
}
, consider-amos

,

:

[0
,
1]
×

[0
,
1]

R
, definidopor 

f,g

=
 
10

(
t
)
g
(
t
)
dt,
es un producto interno en 

[0
,
1]
.
Ejemplo 93.
Si 
R
[0
,
1] =
{

: [0
,
1]

R
tal que

es integrable Riemann 
}
,
R
[0
,
1]
es un espacio vectorial real.

,

:
R
[0
,
1]
×R
[0
,
1]

R
definido como en el ejemploanterior no es un producto interno porque no se verifica la propiedad iv).Siconsideramos

: [0
,
1]

R
tal que

(
x
) =

1
x
= 1
/
2
,
0

x

[0
,
1]
−{
1
/
2
}
se tiene que


= 0
pero

f,f 

=
 
10

2
(
t
)
dt
= 0
.
[pic][pic][pic][pic][pic][pic]
 
2. NORMA 81
2. NormaDefinici´on 94.
Sea 

un espacio vectorial. Una 
norma 
en 

es una funci´ on tal que a cada vector 
v
le hace corresponder un real 
indicado como

v

, y cumple:
1.

λv

=
|
λ
| 
v
 ∀
λ

K,

v


,
2.

v
≥
0

v


;

v

= 0

v
=
 
0
,
3.

v
+
w
≤
v

+

w

(“desigualdad triangular”).
Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial en el que se defini´o una norma.
Ejemplos 95.Ejemplo 96.
Ejemplos de normas en 
R
n
:
1.

(
a
1,...,a
n
)

 p
= (
n

i
=1
|
a
i
|
 p
)
1
/p
,
p

N
. Cuando
p

= 2
, la propiedad triangular no es f´ acil de probar.
2.

(
a
1
,...,a
n
)


=
max 
{|
a
i
|}
.
Ejemplo 97.
Ejemplos de normas en 
C
[
a,b
]
(espacio de las funciones realescontinuas en 
[
a,b
]) :1.



 p
= (
 
ba
|

(
t
)
|
 p
dt
)
1
/p
.Cuando
p >
2
, la propiedad triangular no es f´ acil de probar.
2.




=
max 
{|

(
x
)
|
, a

x

b
}
.
Teorema 98.
Todo espacio vectorial con producto interno es un espacio vectorial normado definiendo la norma de la siguiente manera:
||
v
||
=
 

v,v

.
A esta norma la llamamos
norma inducida 
por el producto interno.
Demostraci´on:Para demostrar elteorema debemos probar que la aplicaci´on
||||
es efectivamente unanorma o sea que verifica:1.
||
v
|| ≥
0

v


y
||
v
||
= 0

v
=
 
0;2.
||
av
||
=
|
a
|||
v
||∀
a

K
, v


;3.
||
u
+
v
|| ≤||
u
||
+
||
v
||∀
u,v


(“desigualdad triangular”).Las demostraciones de (1) y (2) son simples a partir de las propiedades del productointerno y sedejan como ejercicio. La tercera propiedad de las normas, la “desigualdadtriangular”, se demostrar´a m´as adelante.

[pic][pic]
 
82 4. PRODUCTO INTERNO Y NORMA
Observaci´on 99.
El rec´ıproco
no
es cierto, o sea hay normas que no son normasinducidas por ning´ un producto interno en 

.
Esta situaci´on nos lleva a hacernos la siguiente pregunta: ¿qu´e condici´on quecumpla una...
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