apunte factorizacion matrirciales

Factorizaciones matriciales
Versi´n Enero de 2010
o
Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o

´
Indice
1. Matrices elementales
1.1. Inversas y transpuestas de matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3

2. Factorizaci´n A = LU
o
2.1. Matrices triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. La factorizaci´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.3. Relaci´n por filas de A = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

4
4
6
7

3. Factorizaci´n P A = LU
o
8
3.1. Aplicaciones de la factorizaci´n P A = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
4.Factorizaci´n de Cholesky
o
4.1. Factorizaci´n LU de matrices sim´tricas . . . . . . . .
o
e
4.2. Formas cuadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2.1. Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2.2. Clasificaci´n de las formas cuadr´ticas . . . . .
o
a
4.3. Matrices definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Propiedades de las matrices definidaspositivas
4.3.2. Segunda Factorizaci´n de Cholesky . . . . . . .
o

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
..
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

14
14
15
16
19
23
23
24

1.

Matrices elementales

Las factorizaciones matriciales permiten manejar matrices complicadas con m´todos simples. Sus aplicaciones
eprincipales se relacionan con los an´lisis de datos utilizando diversos programas computacionales en los cuales
a
se reduce tanto el tiempo de c´lculo como los errores que genera la aritm´tica de punto flotante. Nuestra
a
e
intenci´n principal en este cap´
o
ıtulo es dividir un proceso complejo, representado por una transformaci´n lineal
o
T y su matriz can´nica A, en un cierto n´mero desubprocesos T1 , T2 , . . . , Tk cuyas matrices asociadas son
o
u
A1 , A2 , . . . , Ak , de modo que
Tk ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1 = T,
lo que en lenguaje de matrices significa factorizar A en un producto de matrices m´s “simples”:
a
A = Ak · · · A2 A1 .
En esta secci´n, nuestra meta ser´ establecer una interpretaci´n matricial de las operaciones elementales,
o
a
o
mediante las cuales realizamos elalgoritmo de escalonamiento de Gauss.
Recordemos que las tres operaciones elementales (por filas) que generan matrices equivalentes son:
(i) de Permutaci´n: Fi ←→ Fj (intercambia de lugar la Fila i con la Fila j).
o
(ii) de Escalamiento: Fi · c −→ Fi , donde c = 0 (amplifica por una constante no nula c la Fila i).
“elemento a eliminar”
(permite hacer cero los elementos
“pivote”
bajo un pivote,al sumar a la Fila i un m´ltiplo de la Fila j)
u

(iii) de Eliminaci´n: Fi + cFj −→ Fi , donde c = −
o

Definici´n: Una matriz elemental es una matriz cuadrada (de n × n para alg´n n ∈ N), que se obtiene al
o
u
realizar exactamente una operaci´n elemental a la matriz identidad de n × n, In .
o
As´ cada matriz elemental “representar´” la operaci´n elemental que debe realizarse a In paraobtenerla.
ı,
a
o
Ejemplos:
1
0

1
0

2. I4 = 
0
0

1
3. I3 = 0
0
1. I2 =

0
1
0
1
0
0
0
1
0

0 1
=⇒ E1 =
es una matriz elemental de permutaci´n.
o
F1 ←→ F2
1 0



0 0
1 0 0 0
 0 1 0 0
0 0



o
 F3 − 2F1 =⇒ E2 = −2 0 1 0 es una matriz elemental de eliminaci´n.
1 0
0 1
0 0 0 1



1 0 0
0
1
0 F2 · − 3 =⇒ E3 = 0 − 1 0...