Apunte mate 3

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Apunte Matem´tica I a
Alicia Labra, Sergio Mu˜oz n

´ Indice
1. Introducci´n o 2. Nociones b´sicas de Conjuntos, lenguaje matem´tico y L´gica a a o 2.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Nociones b´sicas de lenguaje matem´tico y L´gica . . . . . . . . . . . . . . . a a o 2.3. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3. N´ meros reales u 3.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Orden en los reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ra´ cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıces 3.4. Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Funciones 4.1. Nociones b´sicas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ 4.2. Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.4. Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Gr´fica de algunas funcionesb´sicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 4.5.1. Producto cartesiano, plano cartesiano y gr´fica. . . . . . . . . . . . . a 3 4 4 7 10 12 12 13 16 16 18 18 22 22 24 25 25

1

4.5.2. Funci´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.5.3. Funci´n cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 4.5.4. Funci´n valor absoluto . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.5.5. Funci´n ra´ cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ız 4.5.6. Funci´n rec´ o ıpoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Modificaciones a la gr´fica de funciones b´sicas a a 5. Desigualdades e inecuaciones 6. Inducci´n, sumatorias y Teorema del Binomio o 6.1. Inducci´n Matem´tica . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 26 26 26 28 31 35 35

2

1.

Introducci´n o
Un modelo matem´tico, para mostrar cuanta matem´tica deben saber para a a

modelar una situaci´n biol´gica. o o Ecuaci´n log´ o ıstica, que indica c´mo crece una poblaci´n sujeta a restricciones externas de o o espacio o alimento. Inicialmente creceexponencialmente y luego se va frenando hasta llegar a un l´ ımite. Pero la ecuaci´n que establece el modelo indica que la rapidez de crecimiento o en cada instante t es proporcional al tama˜ o actual de la poblaci´n P y proporcional a la n o diferencia entre el tama˜ o m´ximo M y la poblaci´n actual, es decir: n a o dP = kP (M − P ) dt donde k es la velocidad de crecimiento de la poblaci´n (sin contar lalimitaci´n externa M). o o La funci´n soluci´n es o o P (t) = MP0 P0 + (M − P0 )e−kM t

con P0 la poblaci´n inicial. Obtener esta soluci´n requiere t´cnicas de Matem´ticas IV, a o o e que a su vez requiere t´cnicas de Matem´ticas III, Matem´ticas II y Matem´ticas I. e a a a Adem´s, si P0 < M, se prueba que P (t) < M, y que l´ P (t) = M, es decir la poblaci´n a ım o
t→∞

no sobrepasa el tama˜ oM sino que se acerca gradualmente y cada vez m´s lento hacia M. n a Tambi´n se puede probar que e d2 P = (kM − 2kP )kP (M − P ) d t2 y as´ la gr´fica de P (t) tiene un punto de inflexi´n en P = ı a o muestra en la Figura 1.
M . 2

Su gr´fico aproximado se a

3

25

20

20/(19*%e-(4.0*x)+1)

15

10

5

0 0 0.5 1 1.5 x 2 2.5 3

Figura 1: Una soluci´n de la ecuaci´n log´ o oıstica

2.

Nociones b´sicas de Conjuntos, lenguaje matem´tia a co y L´gica o

2.1.

Conjuntos

El concepto de conjunto es primitivo, es decir, no se define. De igual forma son tambi´n e conceptos primitivos: elemento y pertenencia. Ejemplos de conjuntos: N, Z, Q, R.

x ∈ R quiere decir que x es un elemento del conjunto R (es un n´ mero real). u Conjunto especial: el vacio: ∅ (no posee...
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