Apuntes calculo diferencial

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CALCULO DIFERENCIAL

INTRODUCCION.
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante eluso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenon de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el algebra para encontrar el área y las tangentes (integración ydiferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero elretraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de suscríticos más notables fue el filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los númerosreales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

El Cálculo es la rama de las matemáticas que seocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que se han estudiado con anterioridad. El cálculoes menos estático y más dinámico. Se interesa en el cambio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa razón, pude resultar útil tener un panorama general de la materia antes de empezar su estudio intensivo. En este curso estudiaremos algunas de las ideas principales del cálculo, al mostrar cómo surgen los límites cuando intentamos resolver diversos problemas.Los contenidos generales de la asignatura de Calculo Diferencial son: funciones, inecuaciones límites, continuidad, reglas de derivación de funciones algebraicas y trascendentes, así como sus aplicaciones con lo cual se confirma el enfoque instrumental de la materia.

UNIDAD I.- Límites.

1.1 Límites.
Los temas tratados hasta ahora, constituyen lo que se conoce como: precálculo; es decir,proporcionan las herramientas básicas para el cálculo, pero no son cálculo. Nuestro propósito ahora, es establecer, inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, y posteriormente presentar la definición precisa, del concepto más importante del cálculo, como es el concepto de Límite. De hecho algunos autores, definen el cálculo como el estudio de los límites.
El límite de una...
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