Apuntes De Algebra Lineal

´ ALGEBRA LINEAL CON EL USO DE MATLAB

AUTOR

Omar Saldarriaga
Ph.D., State University of New York at Binghamton

Profesor Asociado Departamento de Matem´ticas a Universidad de Antioquia.

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c Copyright by Omar Saldarriaga, 2009. All rights reserved.

Autor: OMAR DAR´ SALDARRIAGA IO

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Prefacio
El ´lgebra lineal es el t´pico m´s importante en Matem´ticas por sus numerosasaplicaciones en todas las a o a a a ´reas de la Matem´tica y a muchas otras ´reas, como la econom´ la ingenier´ la qu´ a a ıa, ıa, ımica, la biolog´ entre ıa otras. Este material se escribi´ bajo tres ideas principales: o 1. Un texto computacional, en este texto casi todos los temas se ven desde un punto de vista computacional que ense˜a a los lectores como hacer c´lculos en ´lgebra lineal sinabandonar la componente te´rica. n a a o 2. Un texto autocontenido: en este libro se dan las demostraciones de todos los teoremas, con excepci´n del o Teorema 1.1 cuya demostraci´n se omite por ser muy engorrosa. o 3. Un texto algor´ ıtmico: En este libro se dan procedimientos paso por paso de como hacer los c´lculos a respectivos en cada tema. La filosofi´ del texto consiste en desarrollar cadasecci´n en el siguiente orden: dar primero la teor´ de a o ıa, est´ deducir posibles algoritmos, despu´s dar el procedimiento paso por paso para hacer c´lculos y finalmente a e a dar ejemplos algunos con c´lculos manuales y otros con el uso del MatLab, escribiendo los respectivos comandos a para obtener la respuesta. La teor´ est´ escrita en orden cronol´gico, cada cap´ ıa a o ıtulo tiene una dependenciadel anterior y se desarrolla de una manera consisa y clara. Este material se ha usado como notas de clase y en encuestas realizadas a los estudiantes, estos han expresado que las notas son muy claras y que se pueden entender con mucha facilidad. Espero que los lectores encuentren en este libro un buen texto, si lo usan como tal para un curso, en caso de no ser el texto gu´ espero que encuentrenen ´l una excelente referencia. ıa, e

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´ Indice general
Prefacio 0. Comandos en MatLab ´ 1. Algebra de matrices 1.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 7 7 13 14 16 16 21 23 28 35 35 39 41 44 46 49 55 58 61 61 64 66 69

1.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1.2. Matrices y Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Inversa a la izquierda y a la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Espacios Vectoriales 2.1. Definici´n y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . o 2.2. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Conjuntos generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Bases y Dimensi´n . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.6. Subespacios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Subespacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. El teorema de la base incompleta en Rm 3. Transformaciones Lineales 3.1. Definici´n y Ejemplos . . . ....