Apuntes de algebra

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APUNTES DE ALGEBRA II

ii

´ Indice general
I Teor´ de Matrices ıa 1
3 3 3 6 6 8 14 16 21 22 24 25 26 29 36 37 38 39 40 43 43 43 45 46 54 60 63 65

1. Matrices 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Definici´n y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Suma de Matrices . . . . . . . . .. . . . . . 1.3.2. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. La Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Intercambio deFilas . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Multiplicaci´n de una Fila por un escalar . . o 1.7.3. Suma a una Fila un m´ltiplo escalar de otra . u 1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. M´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . e 1.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Operaciones Elementales por Columna . . . . 1.11. Ejercicios .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Determinantes 2.1. introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Funci´n Determinante . . . . . . . . . . . o 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades del Determinante . . . . . . . 2.5. Determinantes y Operaciones Elementales 2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Matriz Adjunta . . . . . . . .. . . . . . . 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

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´ INDICE GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 67 67 69 73 73 75 75 77 81 82

3. Sistemas de Ecuaciones 3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Solucionesde Sistemas de Ecuaciones Lineales . 3.3. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Resoluci´n de sistemas de Ecuaciones Lineales . o 3.5. Sistemas inconsistentes . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Sistemas consistentes . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Soluciones unicas . . . . . . . . . . . . . ´ 3.6.2. Infinitas soluciones . . . . . . . . . . . . 3.7. Problemas de aplicaci´n . . . .. . . . . . . . . o 3.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Algebra Lineal
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4. Espacios Vectoriales 4.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2. Definici´n y ejemplos. . . . . . . . . . o 4.3. Propiedades de los espacio vectoriales 4.4. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . 4.5. Subespacio generado . . . . . . . . . . 4.6.Dependencia e independencia lineal . . 4.7. Bases y dimensi´n . . . . . . . . . . . o 4.8. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Matriz de Cambio de Base . . . . . . . 5. Espacios con Producto Interior 5.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . o 5.2. Definici´n y ejemplos . . . . . . o 5.3. Norma de un vector . . . . . . ´ 5.4. Angulo entre vectores . . . . . 5.5. Proceso de Gram Schmidt . . ....
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