Apuntes de algebra

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Teor´ de Conjuntos ıa
(una introducci´n) o

Fernando Hern´ndez Hern´ndez a a

Contenido

Prefacio 1 Introducci´n Hist´rica o o 2 Axiomas de la Teor´ de Conjuntos ıa 2.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Los Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii 1 7 7 9

´ 3 Algebra de Conjuntos 23 3.1 Operaciones Fundamentales . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Familias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Relaciones y Funciones 4.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Productos Cartesianos Arbitrarios 4.4 Equivalencias y Particiones . . . . ´ 4.5 Ordenes . . . . .. . . . . . . . . . 4.6 Sobre Clases . . . . . . . . . . . . . 5 Los 5.1 5.2 5.3 5.4 43 43 49 63 69 77 92

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N´ meros Naturales u Introducci´n . . . . . . . .. . . . . . . o Propiedades de los N´meros Naturales u El Teorema de Recursi´n . . . . . . . o Aritm´tica de los N´meros Naturales . e u

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95 . 95 . 100 . 105 . 111 119 119 122 126 132

6 La Extensi´n de los Naturales a los Reales o 6.1 Diferencias . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Los Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Los Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Sucesiones de Cauchy de N´meros Racionales u

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Contenido

6.5

Los Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 149 149 150 154 156 161 164 169 175 175 177 181 188 199 210 214 217 217 218 222 227 232 245 250 255 255 260 266 271 275 281 286 288

7 Cardinalidad 7.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . o 7.2 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . 7.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos 7.4 Conjuntos Numerables . . . . . . . . 7.5 N´meros Cardinales . . . . . . . . . u 7.6 Aritm´tica Cardinal . . . .. . . . . e 7.7 El Continuo . . . . . . . . . . . . . . 8 El Axioma de Elecci´n o 8.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . o 8.2 El Axioma de Elecci´n . . . . . . . o 8.3 Cuatro Equivalencias Importantes 8.4 Uso del Axioma de Elecci´n . . . . o 8.5 El Teorema del Ideal Primo . . . . 8.6 Otras Proposiciones Relacionadas. 8.7 Matem´ticas sin Elecci´n. . . . . . a o 9 Ordinales 9.1 Introducci´n . .. . . . . . . . . . . o 9.2 N´meros Ordinales . . . . . . . . . u 9.3 El Axioma de Reemplazo . . . . . 9.4 Inducci´n y Recursi´n Transfinita . o o 9.5 Aritm´tica Ordinal . . . . . . . . . e 9.6 Ordinales Iniciales y Alephs . . . . 9.7 Suma y Multiplicaci´n de Alephs . o

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10 Teor´ de Cardinales ıa 10.1 N´meros Cardinales y el Axioma de Elecci´n u o 10.2 Sumas y Productos Infinitos . . . . . . . ....
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