apuntes de econometria 1

Apuntes de Econometría

EMI – Ingeniería Comercial

REPASO DE MATRICES
Mediante el uso del álgebra matricial, los resultados fundamentales en
econometría se presentan de manera compacta y clara.
Una matriz es una colección de números ordenados rectangularmente,

A = [ aik ] = [ A ]ik

!
#
#
=#
#
#"

a11

a12

a21

a22

...
an1

...
an2

a1k $
&
... a2k &
&
... ... &
... ank &%
...

Un vector esun conjunto ordenado de números dispuestos en una fila o en una
columna.
Una matriz puede ser también interpretada como un conjunto de vectores
columna. La dimensión de una matriz indica el número de filas y el número de
columnas que contiene: “A es una matriz nxk”, que indica que A tiene n filas y k
columnas. Si n es igual a k, entonces A es una matriz cuadrada.
Una matriz simétrica A, es aquellaen la cual aik = aki , para todo i.
Una matriz diagonal, es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos distintos
de cero, aparecen en su diagonal principal.
Una matriz escalar es una matriz diagonal, con el mismo valor en todos los
elementos de la diagonal.
Una matriz identidad es una matriz escalar con unos en la diagonal.
Una matriz triangular es aquella que contiene ceros encima, o bien debajode la
diagonal principal.

1

Apuntes de Econometría

EMI – Ingeniería Comercial

1. OPERACIONES CON MATRICES.Igualdad:

A = B ⇔ aik = bik ∀ik

Transpuesta: B = A' ⇔ bik = aki ∀ik

A = (A')'
Suma:

C = A ± B = [aik + bik ]

Conmutativa: A + B = B + A

(A + B)' = A'+ B'
Asociativa:

(A + B) + C = A + (B + C)

Producto: De dos vectores es un escalar.

C = AB ⇔ Ank BkT ⇒ CnT
AB ≠ BA

No esconmutativa

(AB)C = A(BC)

Asociativa

A(B + C) = AB + AC

Distributiva

(AB)' = B' A'

Transpuesta.

2. SUMA DE ELEMENTOS:
i matriz escalar de “1”.

∑x = x + x
i

1

Si xi = a :

2

+... + xn = iX

= i'(ai) = a(i'i) = na

∑ ax = ai' X
i

= 1 n ∑ xi = 1 n i' X = x

Si a = 1 n :

∑ x = i' X = nx
i

2

Apuntes de Econometría

EMI – Ingeniería Comercial

Suma de cuadrados de los elementos de un vector:

∑x2
i

= x'x

Suma de los productos de los vectores X e Y:

∑x y = x'y
i i

Matriz idempotente.Es la que se emplea para transformar datos en desviaciones de la media.

ix =

1
1
1
x = i i' x = ii' x
n
n
n

donde 1n ii' es nxn con cada elemento

1

n

Entonces,

[x − ix ] = [x − 1 n ii' x]

y puesto que x = Ix

= [Ix − 1 n ii' x] = [I − 1 n ii']x = M o x
Todos los elementos de la diagonal de Mº son1− 1 n y los demás son − 1 n .
Suma de desviaciones respecto a la media:

∑(x − x ) = i'[M º x] = 0' x = 0
i

Suma de desviaciones al cuadrado:

∑(x − x )
i

2

= (x − ix )'(x − ix ) = (M º x)'(M º x) = x ' M º ' M º x = x ' M º x

Dado que Mº es una matriz idempotente.
La suma de cuadrados y productos cruzados de desviaciones respecto a las
medias:

∑(x − x )(y − y ) = (M º x)(M º y)
i

i

Perosi Z = [xy] ⇒ M º z

3

Apuntes de Econometría

EMI – Ingeniería Comercial

3. RANGO DE UNA MATRIZ:
El producto escalar: un escalar múltiplo de un vector “a” es otro vector “a” cuyas
coordenadas son el múltiplo escalar de las coordenadas de “a”. Cualquier
escalar múltiplo de a es un segmento de esta línea.
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si cualquiera de los
vectores en elconjunto puede ser escrito como una combinación lineal de los
otros.
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si, la única
solución a la ecuación x1a1 + x2 a2 +... + xk ak = 0 es: x1 = x2 = ... = xk = 0
El rango columna de una matriz es la dimensión del vector espacio generados
por sus columnas:
Rango de una Matriz:

r(A) = r(A') ≤ min(N º filas, N º columnas)

Para cualquiermatriz,

r(A) = r(AA') = r(A' A)

Dos vectores a y b son ortogonales, si a'b = b'a = 0

“a ⊥b”

Un sistema de ecuaciones es homogéneo si adopta la forma Ax=0.
Un sistema de ecuaciones es No Homogéneo si Ax=b. Donde b es un vector no
nulo y A debe tener rango completo.
La traza de una matriz cuadrada kxk es la suma de los elementos de la diagonal
principal. Todas las matrices simétricas idempotentes,...