Apuntes De Logaritmos

Christian
Cortés D.

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Cortés D.
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Location: Santiago de Chile
Date: 2006.07.13 22:45:03 04'00'

Logaritmos
Sean a, b, x números reales y sea b = a x , entonces x es llamado el logaritmo
de b en base a, lo cual se escribe como la siguiente definición:
log a b = x ⇔ a x = b
Analicemos ahora las condiciones que deben cumplir a, b y x.i)
Para a
“a” es llamada base del logaritmo y la condición que debe cumplir es que debe
ser un número real positivo diferente de 1. Las bases mas comunes son las
siguientes:
Base 10, en este caso se llaman logaritmos decimales o de Briggs (log)
Base e, en este caso se llaman logaritmos naturales o de Neper (ln)
Base 2, en este caso se denotan por lb
ii)
Para b, es decir al número al cual le vamos asacar el logaritmo, este
número debe ser un real positivo.
iii) Para x nuestro logaritmo es cualquier número real positivo.

Valores de los logaritmos
La mayoría de los logaritmos son números decimales salvo un número de
excepciones en las cuales son enteros y corresponden a las potencias de la
base. Por ejemplo si consideramos la base 10, tendremos que:
Log1 = 0
Log10 = 1
Log100 = 2
Los valoresintermedios, resultan ser entonces valores decimales y son
obtenidos a través de las calculadoras.
Por ejemplo, si consideramos log2 tendremos en este caso que:
1 < 2 < 10
log1 < log2 < log10
0 < log2 < 1
es decir el logaritmo de 2 es un número que está entre 0 y 1. La calculadora
nos da el valor 0,30103 para logaritmo de 2 aproximado a la quinta cifra
decimal. Por otro lado si vemos el logaritmode 20 este tiene un valor de
1,30103, el de 200 tiene el valor 2,30103; con esto podemos observar que el
logaritmo está formado de dos partes separadas por la coma la primera se
llama característica y la parte decimal se llama mantisa. La característica
corresponde al número de cifras del número menos 1, y la mantisa resulta ser
común para los mayores valores del número multiplicados por 10,100,1000,
etc.
Ejemplos:
Hallar la característica de os siguientes logaritmos:
a) log3000
b) log51,4
c) log0,0023
Consecuencias inmediatas de la definición
log a a = 1
i)
ii)
log a 1 = 0
iii)
log a a n = n

a log x = x

iv)

a

Ejemplos:
Hallar los siguientes logaritmos:
a) log 7 7 =
b) log 5 1 =
c) ln e 6 =
d) 5 log 9 =
5

Usando la definición de logaritmo, calcule el valor de x
1) x = log 3 27
2) x= log 5 125
1
3) x = log 2
4
4) 2 = log x 16
5) 3 = log 2 x

Propiedades de los logaritmos
1) Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es equivalente a la suma de los logaritmos de los
factores, esto es:
log a xy = log a x + log a y
Demostración
Sabemos que xy = a log xy , x = a log x , y = a log y
Por otro lado, tenemos que
xy = x ⋅ y
a

a log

a

xy

= (a log

a

x

)(a

log a y

aa

)

a log xy = a log x + log y
y como tenemos bases iguales los exponentes también deben serlo
log a xy = log a x + log a y
a

a

a

Ejemplos:
Sí log2= 0,30103 y log3 = 0,47712, hallar
a) log6
b) log12
c) log180
Desarrollar
a) logxyz=
b) ln(ab) =
2) Logaritmo de un cuociente
El logaritmo de un cuociente (división) equivale a la resta de los logaritmos
del numerador (dividendo) menos el logaritmodel denominador (divisor), esto
es:
⎛ x⎞
log⎜ ⎟ = log x − log y,
y≠0
⎜ y⎟
⎝⎠
Demostración:

x

log
x
xx
Sabemos que = a y , x = a log x , y = a log y , luego como = , se tiene que:
y
yy
x
log
a log x
a y = log y
a
= a logx-logy
x
log = log x − log y
y
Ejemplos:
Sí log2 = 0,30103 y log3 = 0,47712, hallar:
a) log5
b) log12
a

a

Desarrollar
xy
a) log =
z
x
b) log
=
yzw

3) Logaritmo de unapotencia
El logaritmo de una potencia equivale al exponente multiplicado por el
logaritmo de la base, esto es:
log a x n = n log a x
Demostración: Tarea
Corolario: (consecuencias de esta propiedad)
n
log a n x m = log a x
m

4) (log a x)(log x a ) = 1
Usando la propiedad 3), tenemos que
(log a x)(log x a ) = 1
log x (a log

a

x

) = log (x ) = 1
x

5) Fórmula del cambio de base:
Esta fórmula resulta...