Apuntes de logica

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Lógica Proposicional

Prof. Carlos SALAS

1  Introducción

La lógica proposicional trabaja con sentencias u oraciones a las cuales se les puede asociar un valor de verdad (cierto o falso); estas sentencias se conocen como sentencias declarativas o, simplemente, proposiciones. Existen proposiciones que son simples, así como proposiciones que están construidas por otras proposiciones usandoelementos (conectivos lógicos) que las asocian. Al construir una proposición, se debe garantizar que esta puede ser evaluada (fórmula bien formada); de la misma forma, podemos construir proposiciones usando solo un grupo de conectivas, produciendo fórmulas que se dice están en su forma normal. Las formas normales son importantes por el hecho que permiten definir esquemas generales para eltratamiento de estas fórmulas,
Otro aspecto importante es el de determinar si una proposición esta construida (o puede ser deducida) a partir de un conjunto de proposiciones, es decir, si es una consecuencia lógica de dicho conjunto.
Finalmente, existen varias formas de representar una fórmula de la lógica proposicional; aquí se introduce el concepto de circuitos lógicos, donde se asocia a lasconectivas lógicas un símbolo gráfico.

2  Objetivos

Los objetivos que se persiguen con esta separata son los siguientes:
1. El alumno distinguirá fórmulas bien formadas a partir de oraciones en lenguaje natural para especificar y definir formalmente un conjunto de sentencias.
2. El alumno probará consecuencias lógicas (CL) para un conjunto de fórmulas bien formadas, a partir de losteoremas 1 y 2 para distinguir cuando un enunciado es verdadero ante un conjunto de axiomas, o sigue de ellos.

3  Proposiciones

Al escuchar algo como La rosa es una flor o El cocodrilo es un mamífero, fácilmente se puede determinar si estas sentencias son ciertas o falsas; sin embargo, al escuchar No seas flojo! o Quién ganará las elecciones?, no es posible asociar a ellas un valor de verdad.Sentencias como las primeras dos son los elementos fundamentales con los que trabaja la lógica proposicional.
La lógica proposicional (o cálculo proposicional) tiene el propósito de simbolizar cualquier tipo de razonamiento para su análisis y tratamiento. Específicamente, para simbolizar razonamiento, la lógica proposicional usa sentencias declarativas a las que se puede asociar un valor deverdad (cierto o falso); es decir, usa proposiciones.
No existe una notación generalmente utilizada para representar proposiciones, pero en este curso se identifica a cada una de ellas con una letra minúscula (o una cadena de letras minúsculas).
Ejemplo: p y q son proposiciones:
p : La rosa es una flor q : El cocodrilo es un mamífero
La asociación de proposiciones produce otrasproposiciones conocidas como compuestas, por lo que es posible diferenciar a las proposiciones simples llamándolas fórmulas atómicas o, simplemente átomos y a las compuestas llamándolas fórmulas compuestas. Del ejemplo, p y q son átomos.

4  Conectivas lógicas

La construcción de fórmulas compuestas requiere del uso de elementos que permitan establecer una relación entre los átomos que la forman; estoselementos se conocen como conectivas lógicas. En la proposición ''El agua esta fría y el calentador está descompuesto'' se tienen dos átomos (El agua esta fria, el calentador está descompuesto), unidos por la partícula ''y'' la cual se dice que es una conectiva lógica. Otro ejemplo sería ''Si Luis es ingeniero, entonces Luis es inteligente'', donde la conectiva lógica es ''Si ... entonces''.Las conectivas lógicas usadas en la lógica proposicional son cinco y son representadas simbólicamente de varias formas, como se muestra en la tabla 1.
|Conectiva |Símbolos asociados |
|Negación (No) |~, ¬ , - |
|Conjunción (Y) |∧, &, ∗ |
|Disyunción (O)...
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