Apuntes de métodos numéricos

|´ ´ ELEMENTOS DE CALCULO NUMERICO

Ricardo G. Dur´n, Silvia B. Lassalle y Julio D. Rossi a

´ Indice General
Cap´ ıtulo 1. Cap´ ıtulo 2. Punto flotante y redondeo Normas y condicionamiento de una matriz. 1 13 29 29 34 55 55 58 59 66 69 75 75 77 78 81 87 89 93 94 99 109 112 113 114 118 123 124 125 127 129 133

Cap´ ıtulo 3. Resoluci´n de sistemas lineales. o 1. M´todos directos e 2.M´todos iterativos e Cap´ ıtulo 4. Resoluci´n de ecuaciones no lineales. o 1. M´todo de bisecci´n. e o 2. M´todo regula falsi e 3. M´todo de Newton-Raphson. e 4. M´todo de punto fijo e 5. M´todo de la secante e Cap´ ıtulo 5. Interpolaci´n o 1. Interpolaci´n de Lagrange o 2. Error de interpolaci´n o 3. Forma de Newton 4. Polinomios de Tchebychev - Minimizaci´n del Error o 5. Interpolaci´n de Hermite o 6.Interpolaci´n por polinomios a trozos o “splines” o Cap´ ıtulo 6. Polinomios ortogonales y aproximaci´n por cuadrados m´ o ınimos. 1. Preliminares 2. Soluci´n de los Problemas de Aproximaci´n o o Cap´ ıtulo 7. Integraci´n num´rica. o e 1. F´rmulas simples de Newton-Cotes o 2. Estimaci´n del error o 3. F´rmulas de cuadratura compuestas o 4. Cuadratura Gaussiana Cap´ ıtulo 8. Resoluci´n deecuaciones diferenciales ordinarias. o 1. M´todos de Euler y Taylor de orden k e 2. M´todos de Runge-Kutta e 3. M´todos de paso variable e 4. An´lisis de los Errores a 5. M´todos multipaso lineales e
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CAP´ ıTULO 1

Punto flotante y redondeo
El objeto de esta secci´n es analizar la representaci´n de los n´meros en una computadora y la o o u propagaci´n de los errores de redondeo al realizarc´lculos. o a Como la cantidad de informaci´n que puede guardarse en una computadora es finita, la m´quina o a trabajar´ s´lo con un conjunto finito de n´meros. A ´stos los llamaremos n´meros de m´quina. a o u e u a En consecuencia, toda vez que de nuestros datos o c´lculos surja un n´mero que no pertenece a a u este conjunto finito, ´ste deber´ ser reemplazado por una aproximaci´n (el n´mero de m´quina e ao u a m´s cercano). Este reemplazo da lugar a lo que llamamos errores de redondeo. a Al realizar c´lculos estos errores de redondeo se propagan y esto puede llevar a resultados a totalmente incorrectos como veremos en algunos ejemplos simples. En las aplicaciones del c´lculo num´rico es pr´cticamente imposible determinar exactamente la a e a magnitud de los errores de redondeo. Lo que si puedehacerse, y es de fundamental importancia, es identificar las posibles causas de que los errores se propaguen m´s de lo admisible. Esto a permite mejorar los algoritmos o determinar que m´todo es m´s conveniente para resolver un e a problema. Un claro ejemplo de esto, que veremos m´s adelante, aparece cuando se utiliza el a m´todo de eliminaci´n de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales.En este caso, e o el an´lisis de la propagaci´n de errores permite determinar la forma m´s eficiente de aplicar el a o a m´todo. e Por otra parte, es fundamental distinguir cuando la propagaci´n excesiva de errores se debe a o que el algoritmo utilizado es “malo” o inestable o a que el problema en s´ mismo est´ “mal ı a condicionado”. En el primer caso se puede (se debe!) tratar de mejorar elm´todo de resoluci´n e o mientras que en el segundo caso el problema es m´s esencial. Los ejemplos que presentaremos a ilustrar´n estos dos casos. a En lo que sigue supondremos que los n´meros de m´quina son los que aparecen en la pantalla. u a Esto no es exacto pues en realidad la computadora opera internamente con los n´meros desarrou llados en base 2 y no en base 10. Este abuso de lenguaje es s´lopara mayor claridad (el lector o podr´ observar que todo nuestro an´lisis puede repetirse trabajando en base 2). a a Observemos primero que un n´mero real cualquiera, x ∈ IR, x > 0, puede escribirse como u 1 ≤r 0 (claramente todas las consideraciones o que haremos se aplican an´logamente a los n´meros negativos). Hay dos posibilidades: que x a u est´ o no en el rango de los n´meros de m´quina....