Arboles y ejes

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Cálculo de árboles y ejes

Árbol

Se usa para referirse a un elemento giratorio que a una velocidad de rotación determinada transmite una potencia

Eje

Se utiliza para definir una pieza estacionaria sobre la que hay montada ruedas giratorias

Árbol de transmisión

También llamado árbol principal, es aquel que recibe la potencia de una máquina motriz y la transmite a maquinasconectadas a él por medio de correas, cadenas o engranajes.

Torsión
El hecho de transmitir una potencia desde un motor implica una velocidad angular (radianes/segundo) y un par que genera en el árbol la denominada torsión. En general se dice que cuando un miembro estructural se carga con momentos que producen rotación al rededor de su eje longitudinal se produce torsión.

El par o momento es unvector perpendicular al plano determinado por la fuerza y la distancia al punto considerado

Si se analiza una sección transversal se observa que ha girado un ángulo, que los radios siguen rectos y que permanece plana y circular. Se puede considerar que la longitud de la barra y su radio, si el ángulo girado es pequeño, no varían. Durante la torsión ocurre una rotación alrededor del ejelongitudinal de un extremo de la barra respecto al otro. Si el ángulo girado es φ, ángulo que se conoce como ángulo de torsión, una línea generatriz de la barra nn' girará pasando a la posición nn'. Debido a la rotación un elemento de longitud infinitesimal dx en la barra girará un ángulo dψ y si se considera la superficie determinada por ψ abcd en el elemento de longitud pasará a ocupar la a b'c'd. Losvértices ya no miden 90°.

El ángulo dγ de la figura anterior se calcula como sigue: bb ' tan dγ= ab

Y como el ángulo es muy pequeño, la tangente del ángulo tiende al ángulo, por lo que:

bb ' dγ= ab
Como:

bb' = r.dψ y

ab = dx

Se tiene que:

r⋅d ψ dγ= dx

Un par M aplicado en el extremo libre de una barra de sección transversal circular, cuyo otro extremo está empotradoorigina en una sección AA un estado de tensión que puede deducirse aplicando el Principio de Fragmentación de la Estática al sólido parcial comprendido entre la sección AA y el extremo libre en el que se aplica el par.

La resultante de las acciones tangenciales de la parte izquierda sobre el sólido considerado a lo largo de la sección debe ser nula ya que el sistema de fuerzas aplicado es unpar. Es lógico suponer que las tensiones tangenciales son proporcionales a sus distancias al centro, con lo que la magnitud de estas tensiones será:

τi τ = ri r

ri τ i =τ r

La fuerza tangencial que actúa sobre un elemento de área será:

τi.dA

Y la suma de momentos respecto al centro de la sección circular será:

τ⋅I o τ 2 ∫ τ i⋅r i⋅dA= r ∫ r i ⋅dA= r
Siendo Io el denominado momentopolar de inercia.
Igualando los momentos de las fuerzas que actúan sobre la sección de la barra con el momento aplicado se tendrá que:

De donde despejando se tiene:

τ⋅I o =M r

M⋅r τ= (I ) Io

La ecuación (I) se denomina formula de la torsión y establece que el esfuerzo cortante máximo es directamente proporcional al par aplicado y al radio de la sección circular de la barra einversamente proporcional al momento polar de inercia.
Como en una barra maciza de sección circular el momento polar de inercia vale:

π⋅d I o= 32

4

Y r = d/2 , sustituyendo en la formula de torsión se tiene que:

16M τ= 3 π⋅d

TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR HUECA Las barras circulares huecas son mucho mas eficaces que las barras macizas para resistir cargas torsionales. En efecto,esto es cierto ya que como se ha explicado los esfuerzos cortantes en una barra circular completamente sólida disminuyen desde su valor máximo en la superficie hasta un valor cero en el centro del circulo, lo que hace que mucho del material que constituye la barra este sometido a esfuerzos cortantes muy por debajo del valor máximo admisible y es por lo que si es necesaria una reducción de peso y...
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