Arboles y grafos

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I. ARBOLES

Los árboles son una clase de grafos. Un claro ejemplo de un árbol es el siguiente:

Consideremos cuatro parejas de chismosos {a, A, b, B, c, C, d, D} donde a, b, c y d son los esposos y A, B, C y D son sus esposas respectivamente. Supongamos que a llama a su esposa para contarle algún chisme, entonces ella llama a las otras señoras para difundir el chisme, y cada una de ellas a suvez llama a su esposo para comunicárselo. El siguiente grafo muestra la propagación del chisme:

Un árbol es un grafo no dirigido conexo que no contiene circuitos, es decir que no existen dos o más paseos sobre un par de vértices.

Un conjunto de árboles disjuntos es llamado bosque. Un vértice de grado 1 en un árbol se llama hoja o un nodo terminal, y un vértice de grado mayor que 1 recibe elnombre de rama o nodo interno. Por ejemplo, son hojas: b, c, d y los vértices a, A, B, C, D son nodos rama.

1.1 PROPIEDADES DE LOS ARBOLES:

* Existe un único paseo entre dos vértices cualesquiera de un árbol.
* El número de vértices es mayor en uno al número de aristas de un árbol.
* Un árbol con dos o más vértices tiene al menos dos hojas.

Un árbol T (libre) es una gráficasimple que satisface lo siguiente; si v y w son vértices en T, existe una trayectoria simple única de v a w. Se muestra un ejemplo:

Un árbol con raíz es un árbol en el que un vértice específico se designa como raíz, se presenta un ejemplo:

Como la trayectoria simple de la raíz a cualquier vértice dado es única, cada vértice está en un nivel determinado de manera única. Así, el nivel de la raízes el nivel 0, los vértices que están debajo de la raíz están en el nivel 1, y así sucesivamente. Por lo tanto podemos decir que: el nivel de un vértice v es la longitud de la trayectoria simple de la raíz a v.

La altura de un árbol con raíz es el número máximo de nivel que ocurre.

Ejemplo:

Tomando como referencia el gráfico del árbol con raíz determine el nivel del vértice a, b, g ydetermine también la altura del árbol.

Para el vértice a su nivel es 0
Para el vértice b su nivel es 1
Para el vértice g su nivel es 2
La altura del árbol es de 2.

1.1.1 ARBOLES DE EXPANSION

Un árbol T es un árbol de expansión de una gráfica G si T es una subgráfica de G que contiene a todos los vértices de G. Una gráfica G tiene un árbol de expansión si y solo si G es conexa.

Elárbol de expansión para la gráfica G que se presenta, se muestra con línea seguida.

Existen dos métodos para encontrar el árbol de expansión de una gráfica G:

1. Por búsqueda a lo ancho: permite procesar todos los vértices en un nivel dado antes de moverse al nivel más alto que lo sigue; primero se selecciona un orden de los vértices, considerando el primer vértice de ese orden como raíz.2. Por búsqueda en profundidad: o conocido también como de regreso.
Ejemplo

Utilice la búsqueda a profundidad con el orden h, g, f, e, d, c, b, a de los vértices para determinar un árbol de expansión de la gráfica G.

Tomado h como vértice raíz tenemos:

1.1.2 Árboles de expansión mínimo

Un árbol de expansión comprende un grafo que posee nodos, arcos cada uno con longitud (peso) nonegativa. Para encontrar el árbol de expansión mínima se debe recorrer todos los vértices del árbol en el que la suma de los pesos de sus aristas sea mínima, no se incluyen ciclos en la solución.

Un árbol de expansión mínima de G es un árbol de expansión de G con peso mínimo.

1.1.3 Algoritmo de la ruta más corta en un árbol

Se lo obtiene aplicando el algoritmo de Dijkstra, al recorrer elárbol se lo hace desde un Vo a un Vf por las aristas cuyos pesos sean menores y la suma del recorrido sea menor, no es necesario que se abarque todos los vértices. Si realizamos la suma de sus pesos es de 35; sumatoria mínima.

1.1.4 ÁRBOLES BINARIOS

Están entre los tipos de árboles binarios especiales con raíz, su característica es que todo vértice tiene cuando mucho dos hijos. Donde cada...
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