Arco De Meridiano
Páginas: 2 (494 palabras)
Publicado: 26 de julio de 2012
Geodesia
1. Arco de meridiano
ds = M dφ,
¢φ
s=
1 − e 2 sen2 φ
φ0
El término 1/ 1 − e 2 sen2 φ
3
2
k =∞
(1 − x )
1 − e 2 sen2 φ
3
2
=
3
2
+
t
dφ.
t+k −1 k
x.
k
=
k =0
3
2
+0−1
0
e 2 sen2 φ +
0
3
2
3
2
se expande por el binomio de Newton
1
1
a 1 − e2
+3−1
3
e 2 sen2 φ +
3
+1−1
1
e 2 sen2 φ +
1
3
23
2
+2−1
2
e 2 sen2 φ +
2
+4−1
4
e 2 sen2 φ + · · ·
4
siendo
u
1 k −1
=
(u − n ) ,
k ! n =0
k
1
2
0
= 1,
3
2
3
=,
2
1
5
2
2
=
15
,
8
7
23
=
35
,
16
9
2
4
=
315
.
128
Para facilitar la integración del término e n senn φ tradicionalmente se aplica la fórmula de
Moivre para la reducción de potencias. Si lapotencia n es par:
2
1n
sen θ = n n + n
22
2
n
k = n −1
2
(−1)
k =0
1
n
−k
2
n
cos ((n − 2k ) θ ) .
k
1 ARCO DE MERIDIANO
2
1
1
−
cos
2
2
3
1
sen4 φ =
−
cos8
2
5 15
sen6 φ =
−
cos
16 32
35
7
sen8 φ =
−
cos
128 16
sen2 φ =
2φ
1
cos 4φ
8
3
1
2φ + cos 4φ −
cos 6φ
16
32
7
1
1
2φ + cos 4φ −
cos 6φ +
cos 8φ
32
16
128
2φ +Agrupando los términos en función de cos n φ se tiene:
3
45
175 6 11025 8
A =1 + e 2 + e 4 +
e+
e
4
64
256
16384
3 2 15 4 525 6 2205 8
B=
e+ e+
e+
e
4
16
512
2048
15 4 105 62205 8
e+
e+
e
C=
64
256
4096
35 6
315 8
D=
e+
e
512
2048
315 8
E=
e
16384
¢φ
s ≈ a 1−e
2
A − B cos 2φ + C cos 4φ − D cos 6φ + E cos 8φ
dφ,
φ0
s ≈ a 1 − e2
Aφ −B
C
D
E
sen 2φ + sen 4φ − sen 6φ + sen 8φ
2
4
6
8
φ
.
φ0
Si φ0 = 0:
s ≈ a 1 − e2
Aφ −
B
C
D
E
sen 2φ + sen 4φ − sen 6φ + sen 8φ
2
4
6
8
.
Si φ0 = − π :
2
s ≈a 1 − e2
A φ+
π
B
C
D
E
− sen 2φ + sen 4φ − sen 6φ + sen 8φ
2
2
4
6
8
.
En general:
B
C
sen 2φ − sen 2φ0 +
sen 4φ − sen 4φ0 −
2
4
D
E
−
sen 6φ − sen 6φ0 +
sen 8φ −...
1. Arco de meridiano
ds = M dφ,
¢φ
s=
1 − e 2 sen2 φ
φ0
El término 1/ 1 − e 2 sen2 φ
3
2
k =∞
(1 − x )
1 − e 2 sen2 φ
3
2
=
3
2
+
t
dφ.
t+k −1 k
x.
k
=
k =0
3
2
+0−1
0
e 2 sen2 φ +
0
3
2
3
2
se expande por el binomio de Newton
1
1
a 1 − e2
+3−1
3
e 2 sen2 φ +
3
+1−1
1
e 2 sen2 φ +
1
3
23
2
+2−1
2
e 2 sen2 φ +
2
+4−1
4
e 2 sen2 φ + · · ·
4
siendo
u
1 k −1
=
(u − n ) ,
k ! n =0
k
1
2
0
= 1,
3
2
3
=,
2
1
5
2
2
=
15
,
8
7
23
=
35
,
16
9
2
4
=
315
.
128
Para facilitar la integración del término e n senn φ tradicionalmente se aplica la fórmula de
Moivre para la reducción de potencias. Si lapotencia n es par:
2
1n
sen θ = n n + n
22
2
n
k = n −1
2
(−1)
k =0
1
n
−k
2
n
cos ((n − 2k ) θ ) .
k
1 ARCO DE MERIDIANO
2
1
1
−
cos
2
2
3
1
sen4 φ =
−
cos8
2
5 15
sen6 φ =
−
cos
16 32
35
7
sen8 φ =
−
cos
128 16
sen2 φ =
2φ
1
cos 4φ
8
3
1
2φ + cos 4φ −
cos 6φ
16
32
7
1
1
2φ + cos 4φ −
cos 6φ +
cos 8φ
32
16
128
2φ +Agrupando los términos en función de cos n φ se tiene:
3
45
175 6 11025 8
A =1 + e 2 + e 4 +
e+
e
4
64
256
16384
3 2 15 4 525 6 2205 8
B=
e+ e+
e+
e
4
16
512
2048
15 4 105 62205 8
e+
e+
e
C=
64
256
4096
35 6
315 8
D=
e+
e
512
2048
315 8
E=
e
16384
¢φ
s ≈ a 1−e
2
A − B cos 2φ + C cos 4φ − D cos 6φ + E cos 8φ
dφ,
φ0
s ≈ a 1 − e2
Aφ −B
C
D
E
sen 2φ + sen 4φ − sen 6φ + sen 8φ
2
4
6
8
φ
.
φ0
Si φ0 = 0:
s ≈ a 1 − e2
Aφ −
B
C
D
E
sen 2φ + sen 4φ − sen 6φ + sen 8φ
2
4
6
8
.
Si φ0 = − π :
2
s ≈a 1 − e2
A φ+
π
B
C
D
E
− sen 2φ + sen 4φ − sen 6φ + sen 8φ
2
2
4
6
8
.
En general:
B
C
sen 2φ − sen 2φ0 +
sen 4φ − sen 4φ0 −
2
4
D
E
−
sen 6φ − sen 6φ0 +
sen 8φ −...
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