Area desuperficie

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Área de superficies de revolución

Las áreas de las superficies que se generan al rotar la gráfica de una función definida en un intervalo cerrado [a,b], alrededor de uno de los ejes son lasllamadas áreas de superficies de revolución. En este trabajo los ejemplos serán de rotaciones alrededor del eje de las x.

• La fórmula para calcular el área de una superficie de revolución al rotaruna función definida en el intervalo [a,b], alrededor del eje de las x está dada por:
[pic]
[pic]
• Sólo por dar una idea, diremos que dicha fórmula se obtiene considerando que el radio encada corte circular es el valor de [pic]y por lo tanto cualquiera circunferencia tendría un perímetro igual a [pic], pero habrá que considerar esta medida a lo largo de toda la curva. El procedimientoformal de cálculo integral, utiliza límites de sumas de áreas de pequeñas arandelas o cortes circulares infinitesimales de la superficie de revolución, a lo largo de toda la curva.
• Por ello enla fórmula aparece la expresión de la longitud de arco, puesto que para calcular toda el área, es necesario recorrer toda la curva.








[pic]



Encuentre el área de la superficieobtenida por la rotación de la curva en el eje X.
[pic][pic]
[pic]=>[pic]
Entonces:
[pic]
Hacemos las respectivas sustituciones:
[pic]y [pic]
[pic]
Simplificamos;
[pic]
Y, finalmente,nuestro resultado aproximado sería:
[pic]
[pic]





La curva [pic], [pic], es un arco del círculo [pic].
Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X".

entonces,sabemos que y' sería;
[pic]
entonces nos queda que;
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]





[pic]



[pic] [pic]
[pic]Entonces;
[pic]
Ahora ya podemos empezar a trabajar;
[pic]
=>[pic]

=>[pic]
=>[pic]
=>[pic]
=>[pic]
=>[pic]
Y, finalmente nuestro resultado es: [pic]
Aproximadamente, es; [pic]

















[pic]





[pic]; [pic]...
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