Areas entre una funcion

Área entre una función y el eje de abscisas

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2ºEl área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tienezonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la funciónseguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Volumen de una función
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

APLICACIONES DE
LA INTEGRAL
IParte Área de una región entre dos curvas
Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre lasgráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.

Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en elteorema siguiente.
Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es
Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x
Sumando las áreas de los n rectángulo s ytomando el límite cuando
|||| ! 0 (n ! "), tenemos
n
lim " [f(xi) - g(xi)] x
n ! " i=1
Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es
n
A = lim " [f(xi) - g(xi)] x = 
[f(x) - g(x)] dx
n ! " i=1
Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulovertical (de anchura x)implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.
Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.
Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulorepresentativo es
A = [f(x) - g(x)] x
= [(x2+ 2) - (-x)] x
A = 
[f(x) - g(x)] dx
= [(x2 + 2) - (-x)]dx
= [x3/3 + x2/2 + 2x]10
= 1/3 + ½ + 2 = 
Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a y b están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores...