Aristoteles

Superficies
Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, que esta representada por una ecuación en tres variables, si las coordenadas de cada punto de la superficie satisfacen la ecuación.
Tipos de ecuación:
Superficie cuádrica
Una superficie cuya ecuación es de la forma
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0
Es decir, de segundo grado, se llama,apropiadamente, superficie cuádrica o simplemente una, cuádrica. Por ejemplo, los conos, esferas, cilindro parabólicos, circulares y elipsoide de revolución todos cuyas ecuaciones sean de segundo grado con tres variables son cuadricas.
Para el estudio de los seis tipos de superficies, se elegirán los ejes de coordenadas de modo que las ecuaciones resulten en su forma mas simple y sehará referencia a las secciones transversales de las superficie en planos paralelos a los planos coordenadas. Estas secciones transversales ayudan a visualizar la superficie.
Tipos de superficie cuadricas
Elipsoide
x2a2+ y2b2+ z2c2=1

Donde a, b, c son positivo si en la ecuación de la elipsoide se desea trazas con el plano xy se sustituye z=0 ,Lo cual resulta una elipse

x2a2+ y2b2=1

Si a≠ b es una elipse en el plano xy y para obtener las trazar en plano arbitrarios, se remplaza z=k, en los planos paralelos al plano xy, en la ecuación del elipsoide de lo que se obtiene
x2a2+ y2b2=1- k2c2
Si k>c, entonces 1- kc<0, no existe intersección, Si k=c, la intersección del planoz=k con el elipsoide, consiste del único punto 0,0,k. Si k<c, entonces 1- kc>0 y por lo tanto las trazas el plano z=k es una elipse Y laS longitudes de los semiejes decrece hacia cero conforme k aumente hacia el valor de c.

Las ecuaciones para trasladar el elipsoide a un punto fuera del origen.
x-xo2a2+ y-yo2b2+ z-zo2c2=1

Si los números a, b, c son las longitudes de lossemiejes del elipsoide. Si dos cualquiera de los coeficientes de la ecuación del elipsoide son iguales, la superficie se llama elipsoide de revolución, también denominada esferoide. En particular, si a>b y c=b tenemos el elipsoide alargado (o pro lato), una superficie de revolución, si a>b y c=a obtenemos una elipsoide achatada (o oblato), que es otra superficie de Si a=b=c, lasuperficie de la ecuación del elipsoide es una esfera de radio a; luego la superficie esférica es un caso especial del elipsoide.
Hiperboloide de una hoja

x2a2+ y2b2- z2c2=1

Donde a, b, c son positivo y el eje z es el eje del hiperboloide.
Las trazas en un plano z=k, paralelo al plano xy tienen una ecuación de forma
x2a2+ y2b2=1+ k2c2
Y es por lo tanto una elipse, de estaecuación se deduce que, cuando k=0, las longitudes de los semiejes de la elipse son pequeñas y a medida que k aumenta de valor estas elipses aumentan de tamaño. Las trazas en los planos x=k, en los planos paralelos al plano yz son hipérbolas
y2b2- z2c2=1- k2a2
Si k<a, el eje transverso de la hipérbola es paralelo al eje y si k>a, el eje es transverso es paralelo al eje z y si k=a,la hipérbola se genera en dos rectas.
y b-zc=0 y y b+zc=0
Y de igual manera las trazas en los planos xz, respetivamente son hipérbolas. Además que la superficie no es cerrada si no que se extiende indefinidamente en la grafica aparece una parte de la superficie y se dice que se extiende a lo largo del eje z, y cualquier hiperboloide de una hoja se extiende a lo largodel eje coordenadas correspondiente a la variable cuyo coeficiente es negativo en la forma canoníca de su ecuación.
Si a=b en la superficie en un hiperboloide de revolución de una hoja que se puede engendrar haciendo girar la hipérbola en torno del eje z
Los otras dos formas canonícas son:

x2a2- y2b2+ z2c2=1 y
- x2a2+ y2b2+ z2c2=1

La explicación...