Aritmética binaria

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Luis González. Departamento de Tecnología

SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. La norma principal en un sistema de numeración posicional es que un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.

Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración queutilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual ala posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En este sistema el número 528, por ejemplo, significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 500 + 20 + 8
2

o, lo que es lo mismo,
1 0

5⋅10 2⋅10 8⋅10 =528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente elde los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como: 8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos 8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

8⋅1032⋅10 24⋅101 5⋅100 9⋅10−17⋅10−2=8245,97 Sistema de numeración binario.
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), quetienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números. De acuerdo con estas reglas, el númerobinario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1⋅23 0⋅22 1⋅211⋅20 =8021=11
y lo escribimos así:

10112=1110

Edición: 28 de septiembre de 2004

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Conversión entre números decimales y binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar el número binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo: 77 : 2 = 38Resto: 1 38 : 2 = 19Resto: 0 19 : 2 = 9 Resto: 1 9 : 2 = 4 Resto: 1 4 : 2 = 2 Resto: 0 2 : 2 = 1 Resto: 0 1 : 2 = 0 Resto: 1 La cantidad de dígitos necesarios, para representar un número en el sistema binario, dependerá delvalor de dicho número en el sistema decimal. En el caso anterior, para representar el número 77 han hecho falta siete dígitos. Para representar números superiores harán falta más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28=256 y, por tanto, 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos. Es importante distinguirentre los números que pueden representarse con n dígitos binarios, que es 2n, y el mayor de esos números, que es una unidad menos, es decir, 2n – 1. El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta que el valor de cada dígito está asociado a una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a laderecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda, tal y como se muestra en el siguiente ejemplo: 7710 = 1 0 0 1 1 0 12

1010011=1⋅26 0⋅251⋅24 0⋅230⋅2 21⋅211⋅20 =83
10100112 = 8310

Edición: 28 de septiembre de 2004

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL Y...