Aritmetica
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Publicado: 11 de noviembre de 2010
Progresión aritmética
En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.|Contenido |
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[editar]Término general de una progresión aritmética
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmuladel término general de una progresión aritmética es:
[pic]
Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es [pic] y la diferencia común es [pic], entonces el término [pic]-ésimo de la sucesión viene dada por
[pic], n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
[pic]n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como elprimero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:
[pic]de diferencia [pic]
tenemos que
[pic]
[pic]
[pic]
...
[pic]
[pic]
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:(I)[pic]
expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos [pic] y[pic] ([pic]) de la progresión anterior y pongámolos en función de [pic]:
[pic]
[pic]
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II)[pic]
expresión más generalque (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia [pic] de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:
d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
d 0.
Aplicando (I)
[pic]
[pic]
Sumamos yobtenemos:
[pic]
el mismo resultado que el obtenido para [pic].
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
[pic]
[editar]El término central de una progresión aritmética
En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugarque ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)
[pic]
pero para el término central
[pic]
sustituímos este valor de c y resolvemos:
(V)[pic]
Progresión geométrica
Una sucesión geométrica estáconstituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, [pic] esuna progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
[pic]
Siendo [pic] el término en cuestión, [pic] el primer término y [pic] la razón:
[pic]
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
[pic]
[pic]
[pic]
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En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.|Contenido |
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[editar]Término general de una progresión aritmética
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmuladel término general de una progresión aritmética es:
[pic]
Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es [pic] y la diferencia común es [pic], entonces el término [pic]-ésimo de la sucesión viene dada por
[pic], n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
[pic]n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como elprimero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:
[pic]de diferencia [pic]
tenemos que
[pic]
[pic]
[pic]
...
[pic]
[pic]
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:(I)[pic]
expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos [pic] y[pic] ([pic]) de la progresión anterior y pongámolos en función de [pic]:
[pic]
[pic]
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II)[pic]
expresión más generalque (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia [pic] de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:
d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
d 0.
Aplicando (I)
[pic]
[pic]
Sumamos yobtenemos:
[pic]
el mismo resultado que el obtenido para [pic].
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
[pic]
[editar]El término central de una progresión aritmética
En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugarque ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)
[pic]
pero para el término central
[pic]
sustituímos este valor de c y resolvemos:
(V)[pic]
Progresión geométrica
Una sucesión geométrica estáconstituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, [pic] esuna progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
[pic]
Siendo [pic] el término en cuestión, [pic] el primer término y [pic] la razón:
[pic]
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
[pic]
[pic]
[pic]
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