Aritmetica

Aritm´etica




En esta cap´ıtulo se revisan conceptos, propiedades y operaciones entre nu´meros racionales.


1.1. Los nu´meros reales

El conjunto de nu´meros reales se denota por R. No se da una definici´on rigurosa de este conjunto de nu´meros, s´olo se recuerdan algunos subconjuntos destacados de nu´meros reales.
El primero de ellos es el conjunto de los nu´meros naturales,denotado
por N, que consta de los nu´meros que se usan para contar y es
N = { 1, 2, 3, . . . }
donde los puntos suspensivos indican que la lista continua dando lugar a un conjunto infinito.
La necesidad de resolver ecuaciones de la forma x + 1 = 0, o m´as gene- ralmente x + a = 0, para a ∈ N, propici´o la introducci´on de los nu´meros enteros, denotados por Z, m´as precisamente

Z = { . . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } . a

Una fracci´on es un nu´mero de la forma

, donde a es un nu´mero entero
b

llamado el numerador de la fracci´on y b es otro nu´mero entero, con b = 0
y llamado denominador de la fracci´on. El conjunto de todas las fracciones forma el conjunto de los nu´meros racionales ; se denota como

Q = q = a , a, b Z, b = 0 . b




Cap´ıtulo 1Aritm´etica



N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .
Existen nu´meros reales que no pueden expresarse en forma de fracci´on, a tales nu´meros se les llama irracionales y el conjunto de estos nu´meros se denota por I.
Finalmente se tiene el conjunto de los nu´meros reales como la unio´n ajena de estos dos conjuntos, es decir:

R = Q ∪ I ,

con Q ∩ I = ∅.


1.1.1. Propiedades de los nu´meros realesLos nu´meros reales, junto con las operaciones de suma y producto satisfacen ciertas propiedades que se aplican cuando se opera con ellos, las cuales son conocidas. A continuaci´on se enuncian de manera expl´ıcita algunas de estas
propiedades. Para cada a, b ∈ R:

Cerradura. Se tiene a + b y a • b ∈ R, es decir, la suma y el producto de dos nu´meros reales es nuevamente un nu´mero real.Conmutativa. Se tiene a + b = b + a y a • b = b • a, esto es, el orden de los t´erminos en la suma o el de los factores en el producto, no altera el resultado.

Asociativa. Se tiene (a + b) + c = a + (b + c) y (a • b) • c = a • (b • c), es decir el orden de asociaci´on al hacer una suma o un producto da el mismo resultado.

Distributiva. Se tiene a • (b + c) = a • b + a • c y (b + c)• a = b • a + c • a. Es decir el producto distribuye con respecto a la suma.

Existencia de elementos neutros. Existen dos elementos distintos, 0 ∈ R y
1 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, a • 1 = 1 • a = a. El 0 se llama neutro
aditivo y el 1 neutro multiplicativo.

Existencia de inversos. Para cada a ∈ R existe el elemento −a ∈ R, el inverso aditivo de a, tal que a + (−a) = 0. Sia = 0, existe a−1 ∈ R, el inverso multiplicativo de a, tal que a • a−1 = a−1 • a = 1.



1.2 Divisivilidad


Estas propiedades se ensen˜an y aprenden de manera intuitiva desde los primeros cursos de matem´aticas. De igual forma, en el material expuesto en este texto se aplicar´an estas propiedades sin mayor justificaci´on.


1.2. Divisibilidad

Sean a, b dosnu´meros enteros. Se dice que b divide al nu´mero a si existe
c ∈ Z tal que a = bc. Se observa entonces que a es divisible por b y por c.
Se tiene los siguientes criterios de divisibilidad.

Un nu´mero es divisible por 2 si termina en nu´mero par.

Un nu´mero es divisible por 3 si al sumar sus cifras se obtiene un nu´mero mu´ltiplo de 3.

Un nu´mero es divisible por 4 si el nu´mero formado porsus dos u´ltimas cifras es mu´ltiplo de 4.

Un nu´mero es divisible por 5 si termina en 0 ´o bien en 5. Un nu´mero es divisible por 10 si termina en cero.
Para saber si un nu´mero es divisible por nu´meros diferentes a los mencionados
anteriormente es necesario realizar la divisi´on.

Ejemplo 1.2.1 El nu´mero 875160 es divisible por 2 porque termina en 0 que es un nu´mero par. Es...