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. MATRICES INVERSAS.

Dada una matriz cuadrada A de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y se denota por A-1 a la matriz que verifica A*A-1=In
NOTA: Si |A| * 0 * A posee matriz inversa (además sedice que A es inversible o regular).
Si |A| = 0 * A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).

Métodos de cálculo de la matriz inversa
a) Método de adjuntos:
b) Método deGauss: veamos un ejemplo
Ejemplo: Calcular la inversa de

Lo haremos primero por el método clásico, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante.Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:
; calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto;calculamos primero los adjuntos:
luego formamos la matriz adjunta: y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante:
Ahora lo hacemos por el métodode Gauss:


Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad).


EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcula los productosposibles entre las matrices
2. Para las matrices , realiza las siguientes operaciones:
a) A + B b) 3ª - 4B c) AB d) AD e) BC
f) CD g) AtC h) DtAt i) BtA j) DtD k) DDt

3. Descomposición ensuma de una matriz simétrica y otra antismétrica las matrices siguientes:
a) b) c)

4. Para la matriz , calcula A50 y A97. Encuentra los valores de a y b para que la matriz A conmute conla matriz .

5. Obtén las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales:
a) b) c)
d) e)

6. Calcula An, para n Î N, siendo A las siguientes matrices:
a) b)c) d) e) f)

7. Calcula el rango de las siguientes matrices:
a) b) c) d)

8. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices:
a) b) c) d)...
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