Arte De Cristo

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Cálculo 3
TRABAJO T3

Docente :
Sevillano Castro, Ananias

Tema:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden con coeficientes constantes no homogéneas.

Participantes:
* Salazar Terrones, Lesllye Lizzeth
* Manco Castillo, Kevin
* Gamarra Banda,Manuel
* Peralta Cabrera, Víctor
* Olivera Sagastegui Sergio
* Marín Vigo Herbert


PRESENTACIÓN

El presente informe contiene información referente al tema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes constantes no homogéneas. Además de ello, nuestro trabajo consta de teoría básica como definiciones sobre tipos de ecuaciones diferenciales, ejerciciospropuestos y resueltos los cuales ayudarán a realizar un mejor estudio del tema.
Cabe recalcar, de que se consideró x métodos para el desarrollo y solución de los problemas presentados para dicho tema.
El desarrollo y aprendizaje de este tema nos será de gran utilidad en la aplicación en nuestra carrera como futuros profesionales de ingeniería, ya que presenta gran cantidad de aplicaciones,tales son: Problemas de calefacción y enfriamiento de edificios, trayectorias ortogonales, problemas de mezclas y problemas de crecimiento de población.

OBJETIVOS
1.- Objetivos generales
* Conocer y aprender la resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden con coeficientes constantes no homogéneas
2.- Objetivos específicos
* Aprender y conocer las aplicaciones delas ecuaciones diferenciales.

 Origen de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales tienen su origen en el intento de describir en términos matemáticos problemas físicos en ciencias e ingeniería. Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de ecuaciones en donde figuren diferenciales de alguna función, esto lo concebimos sobre la base de nuestrosconocimientos anteriores sobre el álgebra y el cálculo diferencial. Así como en el álgebra, se invirtió tiempo en resolver ecuaciones como
x2+ 4x-5=0, al realizar este tema vamos a poder resolver ecuaciones como y''−2y'+1=0, pero para ello es pertinente ubicar a esta rama de las matemáticas en las categorías antes mencionadas.

Las ecuaciones diferenciales son una rama del análisis infinitesimal yse interrelacionan con otras ramas como el cálculo diferencial, el cálculo integral y con otras categorías como la geometría analítica, el álgebra elemental, la geometría euclidiana, la trigonometría, así como con otras ciencias como la Física, la Química, la Sociología, la Biología, etc.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:

y´´+p(x)y´+q(x)y=g(x)Si g(x)=0 se llama Ecuación homogénea caso contrario; es decir, g(x)≠0 se llama Ecuación no homogénea.

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:
ay´´+by´+cy = g(x) donde a, b y c ∈IR y a≠0

* ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN HOMOGENEAS:

Una ecuación diferencial de Segundo Orden con coeficientes constantes homogénea es de laforma:

ay´´+by´´+cy=0

La función "y", solución general de la ecuación diferencial anterior, es de la forma yx=kerx. Donde "k" es una constante que da la generalidad de la solución.

Entonces el objetivo ahora será hallar el valor de r.
Bien, de la solución general tenemos: y´=krerx
y´´=kr2erx
Reemplazando en ay´´+by´´+cy=0 tenemos:
akr2erx+bkrerx+ckerx=0
kerxar2+br+c=0
Ahora bien,k≠0 porque si no tuviéramos la solución trivial y como también erx≠0, entonces ar2+br+c=0. A esta expresión se la denomina Ecuación Auxiliar y es útil para hallar r.
Observe que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la formula general
r1,r2=-b±b2-4ac2a

AQUÍ SE PRESENTAN TRES CASOS:

* CASO I

Discriminante positivob2-4ac>0....