arte

Ondas estacionarias en una cuerda

Si un pulso viaja por una cuerda, se refleja en su extremo y regresa. Según el extremo de la cuerda sea fijo o libre, el pulso se invertirá o se reflejará sin invertirse, respectivamente.
Si en lugar de ser un pulso, es una onda sinusoidal la que viaja por la cuerda, las ondas que viajan en un sentido y otro se superpondrán, según la ecuación

yRESULTANTE = y1 + y2

conocida como Principio de Huygens.
De esta superposición surgirá la onda resultante, que siempre es una onda estacionaria, esto es una onda cuya velocidad vale 0.

(I) Los Armónicos

En determinadas condiciones, la onda resultante presenta una máxima amplitud, como consecuencia de la interferencia constructiva de las ondas que viajan en sentidos contrarios. En esoscasos, la cuerda presenta alguno de los siguientes aspectos:



Estos dibujos que parecen en la cuerda se denominan armónicos y se caracterizan por tener una cantidad entera (1, 2 3...) o semi entera (0,5; 1,5; 2,5...) de vientres en la longitud L de la cuerda.
Dichos armónicos reciben su nombre según esa cantidad de vientres, de la siguiente forma:

* Si la cuerda está fija por ambosextremos, la cantidad de vientres es entera y el número de armónico es el mismo que la cantidad de vientres. Por ejemplo, en el primer dibujo de arriba, se muestra el Tercer Armónico. El armónico con un solo vientre se denomina Fundamental. En este tipo de cuerdas tienen armónicos de todos los números.

* Si la cuerda está libre por un extremo, la cantidad de vientres es semi entera; en ese caso elnúmero se multiplica por dos y el entero resultante da su nombre al armónico. Por ejemplo, en el segundo dibujo de arriba hay 2,5 vientres, entonces 2,5x2 = 5. Es decir, el dibujo corresponde al Quinto Armónico con un extremo libre. En este tipo de cuerda solamente hay armónicos impares.

(II) Longitudes de onda y frecuencias de los Armónicos

Llamemos L a la longitud de la cuerda en la cual seestablece un armónico. Si n representa el número de armónico, se cumplirán las siguientes relaciones:

L = n./2 para cuerdas con ambos extremos fijos, con n = 1, 2, 3, 4...

L = N. /4 para cuerdas con un extremo libre, con N = 1, 3, 5, 7...

Y como la velocidad de una onda cumple que V = .f, si sustituimos obtendremos:

f = n. V /2.L para cuerdas con extremos fijos y

f =N. V/ 4.L para cuerdas con un extremo libre.

Es decir, solamente para determinadas frecuencias se establecerá un armónico en una cuerda vibrante.
Si la cuerda tiene sus extremos fijos (como una cuerda de guitarra, por ejemplo) eso ocurrirá para una frecuencia mínima f1 = V/2L y después para frecuencias que sean el doble, triple, cuádruple... de esta.
Si la cuerda tiene un extremo libre,el armónico se establece para una frecuencia mínima f1 = V/4L y luego para el triple, quíntuple... de esa.

El análisis de los diferentes armónicos es espacialmente importante durante el estudio musical: los sonidos "agradables" surgen de la superposición de armónicos.





Velocidad de Onda en una Cuerda
La velocidad de una onda de propagación en una cuerda estirada está determinadapor la tensión y la masa por unidad de longitud de la cuerda.
La velocidad de onda está dada por

Mostrar

Cuando se aplica la fórmula de onda a una cuerda estirada, se ve que se reproducen los modos resonantes de onda estacionaria. El modo de frecuencia mas baja de una cuerda estirada se llama fundamental, y su frecuencia está dada por

De
velocidad = raíz cuadrada ( tensión / masa porunidad de longitud )
Principio del formulario
la velocidad = m/s
cuando la tensión = N = lb
en una cuerda de longitud cm y masa/longitud = gm/m.
Para tal cuerda, la frecuencia fundamental sería Hz.
Final del formulario
Se puede calcular cualquiera de las cantidades resaltadas haciendo clic sobre ella. Si en una cantidad no se introduce ningún valor numérico, se tomará el de una cuerda...