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Número racional
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y unnatural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. Elconjunto de los números racionales se denota por Q (o bien ,en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es enbase binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todaslas fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de unarelación de equivalencia sobre .
1 Construcción formal
2 Aritmética de los números racionales
2.1 Definición de suma y multiplicación en Q2.2 Relaciones de equivalencia y orden en Q
2.3 Existencia de neutros e inversos
2.4 Equivalencias notables en Q
2.5 Propiedades
3 Escritura decimal
3.1 Representación racional de los números decimales
3.2 Desarrollo decimal de los números racionales
3.3 Número racional en otras bases
4 Propiedades topológicas de los números racionales
4.1 Número p-ádico
Construcción formal
.
El conjunto delos números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dosfracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

Aritméticade los números racionales
.Definición de suma y multiplicación en Q[
Se define la suma 
Se define la multiplicación 
Relaciones de equivalencia y orden en Q[
Se define la equivalencia  cuando 
Los racionales positivos son todos los  tales que 
Los racionales negativos son todos los  tales que 
Se define el orden  cuando 
Existencia de neutros e inversos[editar · editar código]
Paracualquier número racional:  se cumple que  entonces  es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por .
Para cualquier número racional:  se cumple que  entonces  es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .
Cada número racional:  tiene un inverso aditivo  tal que 
Cada número racional:  con excepción de  tiene un inverso multiplicativo  tal que 
Equivalenciasnotables en Q[
Todo número entero  se puede escribir como fracción 
 con  y 


 con  y 
 con  y 
Propiedades
El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
La clausura algebraica de , es el conjunto de los números...