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Parábola
En el pasado se vio que la grafica de la ecuación y = ax2 + bx + c es una curva en forma de U llamada parábola la cual abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si el signo de a es positivo o negativo. Ahora se estudiara las parábolas desde un punto de vista geométrico en vez de algebraico
Definición geométrica de una parábola
Una parábola es el conjunto de puntos en elplano equidistante de un punto fijo F(llamado foco) y una recta L (llamada directriz) Esta definición se ilustra en la figura 1. En la parábola destacan los siguientes elementos: El vértice V de la parábola que es el punto en el que el eje intercepta a la parábola Parámetro: Es la distancia del foco al vértice, igualmente la distancia del vértice a ladirectriz se denota con p El foco esta a una distancia a una distancia p del vértice La directriz: Es una recta paralela a uno de los ejes de coordenadas, ubicada a una distancia p del vértice, y a 2p del foco.Lado recto: Es un segmento de recta que pasa por el foco y es paralelo a la directriz. Su longitud es |4p|
Parábola con vértice en el origen
Ecuación Canoníca | Vértice | Eje | Foco | Directriz | La parábola se abre |
x2 = 4py | (0,0) | x = 0 | (0,p) | y = - p | Hacia arribasi p > 0 |
| | | | | Hacia abajo si p < 0 |
y2 = 4px | (0,0) | y = 0 | (p,0) | x = - p | Hacia la derecha si p > 0 |
| | | | | Hacia la izquierda si p < 0 |

fig. 1fig. 2 fig. 3 fig. 4
Gráfica de una parábola
* Marque las coordenadas del vértice y foco. Trace el lado recto y marque sus extremos.
* Determine unos puntos adicionales con la ecuación para tener más precisión al trazar la curva y márquelos.
* Trace la curva a partir de ambos lados del vértice de la parábola apoyándoseen los puntos obtenidos anteriormente
Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de la parábola con vértice V(0,0) y foco F(0,2) y trace su gráfica
x2 = 8y
Solución: Como el vértice es (0,0) el mismo se ubica en el origen. Puesto que el foco es F(0,2) se infiere que p = 2 y por lo tanto la directriz es y = -2. Pues la distancia del foco al vértice, así como la de la directriz al vértice, lo da el valorde p Entonces la ecuación de la parábola es:
x2 = 4py → x2 = 4(2)y →
Como p = 2 siendo > 0, la parábola abre hacia arriba por lo tanto su gráfica es:

Ejemplo 2
Halle el foco, directriz y grafica de la parábola de ecuación 6x + y2 = 0
p = -3 2
F = (-3/2,0)
Para determinar el foco y la directriz colocamos la ecuación dada en la forma canoníca: y2 =-6x al contrastar lo obtenido con las formas de ecuación canoníca, se observa que corresponde a la ecuación de la forma y2 = 4px Se halla p igualando 4p con el coeficiente de x de la ecuación dada: 4p = -6 → p = -6 4 →
x = 3/2
El foco tendrá coordenadas (p,0), en consecuencia → La directriz es x =-p → x = -(-3/2) → Directriz(x) → Lado Recto =|4p|=|4.(-3/2)| → Lado recto(LR) → Grafica: Puesto que p < 0 y la ecuación es de la forma y2 = 4px; se infiere que el eje de la parábola es horizontal y la misma abre hacia la izquierda. Determinamos puntos adicionales de la...
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