Asíntotas de una función

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ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definiciónmás formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distanciaentre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
|
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)Si existe un número “a” tal, que :
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La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
es la asíntota vertical.

GRÁFICA

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe ellímite: :
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La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.
GRÁFICA

Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
|
La recta “y = mx+n” es laasíntota oblicua.
Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

GRÁFICA

Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de lasotras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y porla izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primerocalcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:
|
Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamenteestablecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].
Ejemplo:
La función tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es...
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