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Universidad Miguel Alemán

Matemáticas I

Ing. Aracely Tomasa Ramírez González

Tema:
Reporte de Investigación
Del cálculo diferencial e Integral

Alumno: Edgar David Garza Alvizu

Introducción

Sabe usted como funciona las derivadas e integrales del cálculo matemático?
No?
Entonces espero que el artículo que a continuación proporcionare te pueda ayudar un poco más en eldesarrollo de tus habilidades en este tema.

Esta función pertenece a las del cálculo diferencial

Y esta otra pertenece al cálculo integral.

Calculo diferencial
Es una parte del análisis matemático, el principal objeto de estudio del cálculo diferencial es la derivada.
Para el cálculo diferencial cuando el cambio de las variables es infinitesimal, que es cuando tienden a cero, este cálculo seapoya con el concepto del límite.

Definición de la derivada.
Se define a la derivada como el límite de la pendiente de las rectas secante conforme se van aproximando a la tangente, ya que la recta tangente es el límite de la secante entonces cuando tomamos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtenemos la pendiente de la recta tangente.Grafía de una pendiente
Para obtener está pendiente utilizaremos una función que describe lo que es la derivada con respecto a la recta entre dos puntos, uno que está en movimiento y el otro que es fijo, y se escribe.
limh→0=fx+h-f(x)h
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton
Si sustituimos la variable h por 0 daríacomo resultado una división entre cero y seria erróneo, por eso tendremos que sacar factor común, utilizando métodos algebraicos para lograrlo, y eliminar la literal h, para no crear una división entre cero.

Ejemplos para utilizar la función de la derivada.
Ejemplo 1
Encuentre el límite de la recta tangente a la curva f(x)=x2en el punto (2,4)
mtan=limh→0=f2+h-f(2)h
lim=h→0(2+h)2-(2)2h=limh→04+4h+h2-4h
=limh→0(4+h)
=4

Ejemplo 2
Encuentre la pendiente de la tangente a la curva f(x)=-x2+2x+2 en los puntos con coordenada x de -1,1/2,2,3.
mtan=limh→0=fx+h-f(x)h
=limh→0-(x+h)2+2c+h+2-(-c2+2c+2)h
=limh→0-(x2-2xh-h2+2x+2h+2+x2-2x-2h
=limh→0(-2x-h+2)
=-2x+2

Notaciones para la diferencia
La derivada de una función puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segundaderivada de la función como la derivada de la derivada de ésta.

A partir de la segunda derivada hasta la enésima derivada reciben el nombre de derivada de orden superior.

La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:
d(fx)dx
La noción de Leibniz es tan versátil que permite especificar la variable que seutilizara para la diferenciación y también permite recordar con facilidad la regla de la cadena, que es,
dydx=dydu*dudx
Otra noción consiste en poner la letra D mayúscula para denominar la derivada de las funciones así
Dxf
Equivalente a la expresión
ddxf
Se considera a la diferenciación como una operación sobre funciones y se les llama operadores

Nota: Gottfried Wilhelm Leibniz fue ungenio universal, que comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo.
Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos.

Teoremas para el cálculo de la derivada.

1.- Regla de la constante.
Si f(x) =k, donde k es un numero constante para cualquier x es f’(x)=0. Es decir,
D(k)=0
2.- Regla de identidad.
Si f(x)=x,entonces f’(x)=1. Es decir,
D(x)=1
3.- Reglade potencias
Si f(x)=xn, donde n es un numero entero positivo, entonces f’(x)=nxn-1. Es decir,
Dxn=nxn-1
4.- Regla del múltiplo constante
Si k es una constante y f es una función diferenciable, entonces (kf)’(x)=k*f’(x). Es decir,
Dk*f(x)=k*Df(x)
5.- Regla de la suma y la diferencia
Si f y g son funciones diferenciables, entonces0020f±g'x=f'x+g'x. Es decir,
Dfx±g(x)=Df(x)±Dg(x)
6.-...
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