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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL TACHIRA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA
ASIGNATURA : METODOS NUMERICOS

Sistema de ecuaciones no lineales (Newton)
Supongamos que se esta resolviendo

ƒ1 ( x , y ) = 0 ƒ2 ( x , y ) = 0
Ambas funciones son continuas y diferenciables Espandir en serie de Taylor alrededor del punto (a, b) y todas las derivadas parciales evaluadas en (a,b).

ƒ

(x,y

)=ƒ(a,b

)+

∂ƒ ∂x

(x-a

)+
2

∂ƒ ∂y

(y-b

)+ +

1 2!

∂ƒ ∂x ∂x

2

( x - a )2

+

2

∂ ƒ (x-a ) (y-b ) + ∂ ƒ ∂y ∂y ∂x ∂y
2

( x - b )2

Ecuación 1

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ASIGNATURA : METODOS NUMERICOS

Sistema de ecuaciones no lineales
Si expandimos

ƒ1 alrededor ) = ƒ1
( xk

de ( xk , yk ) , yk

ƒ1 (xk+1

,

yk+1

∂ ƒ1 ( x )+ ∂x
2

k+1

- xk

) + ∂ ƒ1

∂y

( yk+1 - yk

)+

1 2!

∂ ƒ1 ∂x ∂x
2

2

( xk+1 - xk )2

+ 2

∂ ƒ1 ( x ∂x ∂y

k+1

- xk

) ( yk+1 - yk ) +

∂ ƒ1 ∂y ∂y

( yk+1 -yk

)2 + Ecuación 2

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ASIGNATURA : METODOS NUMERICOS

Sistema de ecuaciones no lineales(Newton)
Y si expandimos

ƒ2 igualmente alrededor ) = ƒ2
( xk , yk

de ( xk , yk )
k+1

ƒ2 (

xk+1

,

yk+1

∂ ƒ2 ( x )+ ∂x
2

- xk

) + ∂ ƒ2

∂y

( yk+1 - yk

)+

1 2!

∂ ƒ2 ∂x ∂x
2

2

( xk+1 - xk )2

+ 2

∂ ƒ2 ( x ∂x ∂y
+

k+1

- xk

) ( yk+1 - yk ) +

∂ ƒ2 ∂y ∂y

( yk+1 -yk )2

Ecuación 3

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DEPARTAMENTO DEMATEMATICA Y FISICA
ASIGNATURA : METODOS NUMERICOS

Supongamos que ( xk+1 , yk+1 ) estan cerca de la raiz como para que sean 0 , ademas, asumase que xk y yk estan tan proximos a xk+1 y yk+1 que se pueden omitir los terminos en corchetes entonces nos queda

∂ ƒ1 ( x 0 ≈ ƒ1 ( , ) + ∂x ∂ ƒ2 ( x 0 ≈ ƒ2 ( x , y ) + ∂x
xk yk
k k

k+1

- xk

) + ∂ ƒ1

k+1

- xk

∂y ) + ∂ ƒ2 ∂y

( yk+1 -yk

) Ecuación 4 )

( yk+1 - yk

Para simplificar aún mas, se cambia la notación a xk+1 – xk = h yk+1 – yk = j xk+1 = xk + h yk+1 = yk + j

Ecuación 5

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Al sustituir la ecuacion 5 en la ecuacion 4 y acomodando tenemos:

∂ ƒ1 0 ≈ ƒ1 ( , ) + ∂x ∂ ƒ2 0 ≈ ƒ2 ( x , y ) + ∂x
xk yk
k kh

+ +

h

∂ ƒ1 j ∂y ∂ ƒ2 j ∂y ∂ ƒ1 j ∂y ∂ ƒ2 j ∂y

acomodando

- ƒ1 - ƒ2

(

xk

,

yk

) )

≈ ≈

( xk , yk

∂ ƒ1 ∂x ∂ ƒ2 ∂x

h

+ +

h

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- ƒ1 - ƒ2

(

xk

,

yk

) )

≈ ≈

( xk , yk

∂ ƒ1 ∂x ∂ ƒ2 ∂x

h

+ +

h

∂ ƒ1 j ∂y ∂ ƒ2 j ∂yTiene solución si el Jacobiano (determinante ) de

∂ ƒ1 ∂x ∂ ƒ2 ∂x

∂ ƒ1 ∂y ∂ ƒ2 ∂y

≠

0

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Precisando: el metodo de Newton consiste en resolver :

- ƒ1 - ƒ2

( xk , yk

) )

≈ ≈

( xk , yk

∂ ƒ1 ∂x ∂ ƒ2 ∂x

h

+ +

h

∂ ƒ1 j ∂y ∂ ƒ2 j ∂y
Ecuación 6UNIVERSIDAD NACIONAL DEL TACHIRA
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Ejercicio
Use el metodo de Newton para resolver

ƒ1 ( x , y ) = x2 – 10x + y2 +8 = 0 ƒ2 ( x , y ) = xy2 + x – 10y +8 = 0 En las condiciones iniciales x0 = 0 , y0 = 0

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Solución:

∂ ƒ1 ∂x ∂ ƒ2∂x

∂ ƒ1 ∂y ∂ ƒ2 ∂y

2x –10

2y

y2 + 1

2xy -10

Aumentada sera:

(2x –10) h

( 2y) j

-x2 + 10x - y2 -8

(y2

+ 1) h ( 2xy –10) j

-xy2 - x + 10y -8

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Primera iteracion evaluando en condiciones iniciales

x0 = 0 , y0 = 0

2x –10

2y

-x2 + 10x - y2 -8

y2...