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CURSO: CÁLCULO I - INGENIERÍA

Tema

Derivada de una Función - Interpretación Geométrica - Reglas de derivación - Velocidad y
Aceleración – Recta Tangente y Normal – Regla de La Cadena

:

Ejercicios Propuestos
Derivada de una Función
1. Calcular la derivada de las siguientes
funciones:
a) f ( x) 
b) f ( x) 

5

4

x
x

 3x 2  5
5
2

3 3 2 18 6
9
6
x  x  x  x 3 x2  x2  6 x
2
7
5
13

c) f ( x) 

8
3
2
1
 4 3 2
5
5x
x
x
2x



d) f ( x)  x 20  6 x12
e) f ( x) 
f)

f ( x) 

g) f ( x) 



3

 x

8





i)

f ( x)  x  sin x  3cos x 

j)

f ( x)   xsenx  1 2 x cos x  5
sen( x)
x3  1
x  senx
f ( x) 
1  tgx

k) f ( x) 
l)

senx  cos x
senx  cos x
n) f ( x)  x ln x x
m) f ( x) 

o) f ( x) 

c) f ( x) 

x3  2 x 2  7
x 4  x3  x
3 2
 
x
 3    4x  3 x 
3x
 x
 


x  ln x
x3  ln x

s) f ( x) 

x  arctgx

b) f ( x)   x3  3x  1 ; x0  2

1 3 x

 2

e x  cos x
ln x
r) f ( x)  ln x  log x  x  ln a  log x
q) f ( x) 

a) f ( x)  x 2  6 x  10 ; x0  2

1 3 x

h) f ( x)  

ex  2
2xRecta Tangente y Normal
2. Hallar la ecuación de la Recta Tangente y
de la Recta Normal a las siguientes curvas:

 2x 

x  5  x3  3 x

p) f ( x) 

x 1
; x0  2
x 1

d) f ( x)  4 x  3 ; x0  3






3. ¿En qué punto la tangente a la parábola

y  x 2  7 x  3 es paralela a la recta
5x  y  3  0 ?
4. Hallar la ecuación de la Recta Tangente a la
gráficade

y  2 x2  3

que

es

perpendicular a la recta x  8 y  3  0 .
5. Ayrton viaja en su auto

con una

trayectoria descrita por y  x  x . En
2

una posición determinada, se desvía de su
trayectoria, haciendo un movimiento
1

lineal. Al encontrarse en la posición P (4,8)
se hace las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la ecuación de su nueva
trayectoria?
b) ¿En quéposición se desviará?

10.Puesto que la Luna carece de atmosfera,
un objeto que cae en ella no encuentra
resistencia del aire. En 1971, el astronauta
David Scott verificó que una pluma de ave
y un martillo caen con la misma velocidad.
La función posición para cada uno de esos

Razón de Cambio Instantáneo
6. El movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado de un auto está modelado por laobjetos es s (t )  0,81t 2  2 , donde “s”

función

x (t )  4t 2  5t  8 , donde la

posición “x” está dada en
tiempo “t” en segundos.
velocidad media durante el
tiempo comprendido entre
octavo segundo.

metros y el
Calcular la
intervalo de
el tercer y

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje
coordenado y “s”. La distancia en cm desde
el origen al concluir “t”segundos, está
dada por s(t )  10t  5 . Encontrar la
velocidad instantánea de la partícula al
final de 2 segundos.
8. Después del trabajo de Gottfried Wilhelm
Leibniz sobre el problema de la recta
tangente, logra dar una interpretación
geométrica a la derivada como la
pendiente de la recta tangente a la curva.
Ello, queda formalizado con la siguiente
expresión:
f '( x0 )  mtg  lim msec lim
h 0

f  x0  h   f ( x0 )

h 0

h
Calcular la pendiente de la tangente de:

f ( x)  x 2  4 x  5 ; x0  2
9. La ganancia en dólares de fabricar “q”
productos
está
dada
por

G(q)  0,5q  0,002q 2 . Encuentre la tasa
de cambio instantánea de la ganancia
cuando q = 100.
Aplicaciones de la Derivada a la Ingeniería y
Gestión Empresarial

es la altura (m) y “t” es eltiempo (s).
Calcular la relación entre la aceleración de
la gravedad de la Tierra respecto a la de la
Luna.
11. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000
galones de agua que se pueden drenar por
el fondo de un depósito en 1 h, la Ley de
Torricelli da el volumen de agua “V”
después de “t” minutos como:
2

t 

V (t )  100000  1   ; 0  t  60
 60 
Calcular la rapidez con la...