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Espacio Vectorial

Se conoce como espacio vectorial o espacio lineal al objeto básico de estudio en la rama de la matemática, la cuál es llamada álgebra lineal; los componentes de tales espacios son los vectores.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales como los conocemos, se remontan al siglo XVII, con: geometría analítica, matrices ysistemas de ecuaciones lineales; en el año 1843 William Rowan Hamilton creó los cuaterniones; y en 1844 Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión); luego, a finales del siglo XIX Giuseppe Peano realizó la primera formulación axiomática moderna, a partir de ese punto los avances teóricos en relación a los espacios vectoriales descienden del análisisfuncional, encargado un poco de más de los análisis en los espacios de funciones; más adelante, con el fin de resolver problemas sobre convergencia, los espacios fueron dotados de una correspondiente topología, lo cual daba lugar a desarrollados análisis de continuidad y proximidad, esto hizo que dichos espacios contaran con una teoría superior en cuanto a elaboración y análisis, donde los espaciosresaltantes llegaron a ser los espacios vectoriales de Banach y los espacios de Hilbert.

Álgebra Lineal

El álgebra lineal estudia, desde un enfoque más formal, conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales y transformaciones lineales, esta rama mantiene conexiones constantemente activas con diferentes áreas tanto dentro como fuera del ángulomatemático, algunas de las cuales son; el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, gráficas computarizadas, la ingeniería, entre muchos otros campos.

Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial [pic](conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un vector den componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones. Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales: 
[pic]

 Que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma el espacio vectorial [pic] 
Ejemplo:
El vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio [pic] y (6,-1,0,2,4) es un elemento de [pic] Enparticular, [pic] corresponde a un plano cartesiano y [pic] es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas. 
Las operaciones básicas entre los vectores, en lo que concierne al álgebra lineal son dos: la suma de vectores y el producto por escalar. Para sumar dos vectores en [pic] se suman las coordenadas en posiciones ordenadas, por la regla: 
[pic]
La interpretación gráficadel producto por escalares, es una contracción o dilatación del vector, esto dependiendo de la magnitud del escalar, junto con una posible inversión de su sentido, sólo aplicable en caso de que el signo sea negativo; las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el álgebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u,v ytodo escalar r: 
[pic]

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que [pic] y [pic] son las matrices del tamaño [pic] .

En la aplicación del álgebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en lugar de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices. Con el álgebra lineal se puede determinar cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no. 

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