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Publicado: 13 de enero de 2013
Movimiento Armónico Simple
Nuestro trabajo va a consistir en el movimiento armónico simple , y para ver esta particularidad físicamente , nos basaremos en un péndulo echo de una determinada manera para que se cumpla este fenómeno
el movimiento armónico simple , consiste en un movimiento periódico , oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerzarecuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno).
La ecuación que describen estos tipos de movimientos es :
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:
(2)
\frac{d^2x}{dt^2} =a(t) = -\omega^2x
La forma para poder resolver la ecuación sería :
Donde :
es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.
A\, es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
\omega\, es la frecuencia angular
t\, es el tiempo
\phi\, es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.Además , la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto :
y por lo tanto el periodo como
VelocidadLa velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:
(5)
v = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi)
AceleraciónLa aceleración es la variación de la velocidad del movimientorespecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
(6)
a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,
Amplitud y fase inicialLa amplitud A y la fase inicial \phi\, se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación x_{0} y de la velocidad v_{0}iniciales.
(7)
x_{0} = A \cos\phi \qquad\Rightarrow\qquadx_{0}^2 = A^{2} \cos^{2} \phi
(8)
v_{0} = \omega A \sin\phi \qquad\Rightarrow\qquadv_{0}^{2} = \omega^{2} A^{2} \sin^{2}\phi \qquad\Rightarrow\qquad \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\sin^{2} \phi
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(9)
x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2} (\cos^{2} \phi +\sin^{2} \phi) = A^{2}\qquad\Rightarrow\qquad A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(10)
\frac{v_0}{x_0}= \frac{\omega A\sin\phi}{A\cos\phi}=\omega\tan\phi \qquad \Rightarrow \qquad\phi =\arctan\left(\frac{v_0}{\omega x_0}\right)
La Dinámica del movimiento armónico simple
Dinámica del movimiento armónico simpleEn elmovimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición.
F=-k\, x
Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, enese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.
Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
F=-k\, x=m\, a\qquad\Rightarrow\qquad a=-\frac{k}{m}x
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:
\omega^{2}=\frac{k}{m}
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de laconstante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
Energía del movimiento armónico simple
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas . En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con...
Nuestro trabajo va a consistir en el movimiento armónico simple , y para ver esta particularidad físicamente , nos basaremos en un péndulo echo de una determinada manera para que se cumpla este fenómeno
el movimiento armónico simple , consiste en un movimiento periódico , oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerzarecuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno).
La ecuación que describen estos tipos de movimientos es :
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:
(2)
\frac{d^2x}{dt^2} =a(t) = -\omega^2x
La forma para poder resolver la ecuación sería :
Donde :
es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.
A\, es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
\omega\, es la frecuencia angular
t\, es el tiempo
\phi\, es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.Además , la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto :
y por lo tanto el periodo como
VelocidadLa velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:
(5)
v = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi)
AceleraciónLa aceleración es la variación de la velocidad del movimientorespecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
(6)
a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,
Amplitud y fase inicialLa amplitud A y la fase inicial \phi\, se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación x_{0} y de la velocidad v_{0}iniciales.
(7)
x_{0} = A \cos\phi \qquad\Rightarrow\qquadx_{0}^2 = A^{2} \cos^{2} \phi
(8)
v_{0} = \omega A \sin\phi \qquad\Rightarrow\qquadv_{0}^{2} = \omega^{2} A^{2} \sin^{2}\phi \qquad\Rightarrow\qquad \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\sin^{2} \phi
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(9)
x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2} (\cos^{2} \phi +\sin^{2} \phi) = A^{2}\qquad\Rightarrow\qquad A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(10)
\frac{v_0}{x_0}= \frac{\omega A\sin\phi}{A\cos\phi}=\omega\tan\phi \qquad \Rightarrow \qquad\phi =\arctan\left(\frac{v_0}{\omega x_0}\right)
La Dinámica del movimiento armónico simple
Dinámica del movimiento armónico simpleEn elmovimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición.
F=-k\, x
Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, enese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.
Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
F=-k\, x=m\, a\qquad\Rightarrow\qquad a=-\frac{k}{m}x
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:
\omega^{2}=\frac{k}{m}
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de laconstante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
Energía del movimiento armónico simple
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas . En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con...
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