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M´todos Num´ricos (SC–854) e e Soluci´n de ecuaciones no lineales o
c M. Valenzuela 2007–2008
(5 de mayo de 2008)

1.

Definici´n del problema: ra´ o ıces de ecuaciones no lineales
Dada unaecuaci´n de una variable independiente x, o f (x) = 0, (1)

se desea encontrar el valor o valores de x que hacen que se cumpla la igualdad, donde en general, f es una funci´n no lineal de x, es decir,que no puede expresarse como f (x) = o c0 +c1 x donde c0 y c1 son constantes. A los valores de x que hacen que se cumpla la igualdad se les denomina ra´ces de la ecuaci´n 1. ı o

2.

M´todo debisecciones sucesivas e

El m´todo de bisecciones sucesivas comienza con un intervalo [x1 , x2 ] donde se sabe que e existe una ra´ de la ecuaci´n, y por lo tanto se debe cumplir que ız o f (x1 )f (x2) < 0. Este intervalo se divide a la mitad calculando xnueva = x1 + x2 . 2 (3) (2)

ız Si f (x1 ) · f (xnueva ) < 0 se sabe que una ra´ se encuentra en el intervalo (x1 , xnueva ) y se ız puedecontinuar el algoritmo sustituyendo x2 por xnueva . En caso contrario, la ra´ debe caer en el intervalo (x2 , xnueva ) y el algoritmo puede continuarse sustituyendo x1 por xnueva . En la figura 1 semuestra un ejemplo de la forma en que trabaja el m´todo de bisecciones e sucesivas.

3.

Punto fijo (iteraci´n simple) o

En el m´todo de punto fijo, la ecuaci´n f (x) = 0 se transforma a la forma g(x)= x, y e o ´sta se utiliza como una regla recursiva, es decir, e x(t + 1) = g (x(t)) . o lo que es lo mismo x ← g(x) (5) En la figura 3 se muestra un ejemplo de la forma en que trabaja el m´todo depunto fijo. e El m´todo de iteraci´n simple converge converge a una ra´ r de la ecuaci´n g(x) = x si e o ız o g(x) y g (x) son continuas en un intervalo alrededor de r, si g (x) < 1, (6) (4)

o e o paratodo ese intervalo, y si x1 se escoge en ese intervalo. N´tese que ´sta es una condici´n suficiente, pero no necesaria.

Soluci´n de ecuaciones no lineales o

M´todos Num´ricos (SC–854) e e...
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