Asintotas

2º BACHILLERATO. ASINTOTAS

12.- ASINTOTAS
ASINTOTAS VERTICALES

Lim f ( x) = +∞ ⇒
x → x0

A. Vertical ecuacion x = x0

ASINTOTAS HORIZONTALES Para x → - ∞
x →−∞

Lim f ( x ) = l ∈

⇒A. Horizontal de ecuacion y = l cuando x → −∞
A. Horizontal de ecuacion y = l cuando x → +∞

Para x → +∞
x →+∞

Lim f ( x ) = l ∈

⇒

ASINTOTAS OBLICUAS: Para x → - ∞
x →−∞ x →−∞

f (x) = m ∈ R − {0} x Lim ( f ( x) − mx ) = n ∈ R Lim

y = m x + n asintota oblicua cuando x → - ∞ Para x → + ∞

f ( x) = m ∈ R − {0} x →+∞ x Lim ( f ( x) − mx ) = n ∈ R Lim
x →+∞

y = m x + nasintota oblicua cuando x → + ∞ Si tiene asintota horizontal cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ no puede tener asintota oblicua y viceversa Ejemplo 1:

f ( x) =

x2 x2 − 4

Dom f = R − {−2, 2}Asintotas Verticales Puede tener asintotas verticales donde no está definida, es decir, en x=-2 y en x=2

⎫ x2 4 = = +∞ ⎪ 2 x →−2 x − 4 ⎪ +0 ⎬ Asintota Vertical x = −2 2 x 4 Lim+ 2 = = −∞ ⎪ ⎪ x →−2 x −4 −0 ⎭ 2 ⎫ x 4 Lim 2 = = −∞ ⎪ − x →2 x − 4 ⎪ −0 ⎬ Asintota Vertical x = 2 2 x 4 Lim 2 = = +∞ ⎪ ⎪ x → 2+ x − 4 +0 ⎭ Lim−
asintotas horizontales u oblicuas x2 x2 - 4 -x2 + 4 1 Asintota horizontal y = 14

José Ángel López Martín

Pág 1

2º BACHILLERATO. ASINTOTAS Podemos calcularlas también utilizando limites (aún cuando es más complicado) Asintotas Horizontales

x2 1 = = 1 AsintotaHorizontal y=1 cuando x → -∞y cuando x → +∞ x →±∞ x 2 − 4 1 Lim
Asintotas Oblicuas Si tiene asintota horizontal no puede tener asintota oblicua Ejemplo 2: f ( x) = Asintotas verticales

x2 + 3 x +1Dom f = r − {−1}

⎫ x2 + 3 4 = = −∞ ⎪ x →−1 x + 1 ⎪ −0 ⎬ A sin tota Vertical x = −1 2 x +3 4 Lim = = +∞ ⎪ ⎪ x →−1+ x + 1 +0 ⎭ Lim −

asintotas horizontales u oblicuas +3 x+1 x2 -x2 - x x-1 -x + 3 x+1 4 Asintota Oblicua y = x - 1

Podemos calcularlas también utilizando limites (aún cuando es más complicado) Asintotas Horizontales

x → ±∞

Lim

x2 + 3 = ±∞ x +1

No tiene Asintota...