Astronomo

Certamen I de Física Matemática I. Semestre 2012-1.
14/05/2011

1. Un campo de fuerza F actúa en todos los puntos del espacio y su expresión en coordenadas cilíndricas es la
siguiente:

F =

F0 ρ
cos (λz) ρ + [F0 sen (λz)] z .
ˆ
ˆ
a

(a) ¿Es conservativo el campo de fuerza F ?
Solucion: Si el rotacional de F es cero, podemos afirmar que es conservativo. En coordenadas cilíndricas:×F =

1
h1 h2 h3

h1 q1 h2 q2 h3 q3
ˆ
ˆ
ˆ
∂
∂q1

∂
∂q2

∂
∂q3

h1 A1 h2 A2 h3 A3
ˆ
ˆ ˆ
ρ
ˆ
ρφ
z
ˆ
ρ ρφ z
ˆ
1
1 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
∂φ
∂z
ρ ∂ρ ∂φ ∂z
ρ F0 ρ ∂ρ
Fρ ρFφ Fz
a cos (λz) 0 F0 sen (λz)
=

1 ∂ F0 ρ
F0 ρ
ˆ
ˆ
cos (λz) ρφ = −
λsen (λz) φ.
ρ ∂z
a
a

Por lo tanto, F NO es conservativo.
(b) Calcular mediante una integral de línea la circulaciónde F en una circunferencia de radio ρ = a, contenida
en el plano z = aπ/2 y centrada en el eje z.
Solución: En coordenadas cilíndricas tendremos que
dr =

∂r
∂r
∂r
dρ +
dφ +
dz
∂ρ
∂φ
∂z

para una trayectoria cualquiera. En el caso concreto de una circunferencia de radio ρ = a, contenida en el
plano z = aπ/2 y centrada en el eje z tendremos que dρ = dz = 0 porque para todos lospuntos de ésta las
coordenadas ρ y z se mantienen constantes. Por lo tanto:
dr =

∂r
ˆ
ˆ
dφ = hφ dφφ = ρdφφ.
∂φ

La circulación se calculará como
2π

F · dr =

ρdφ
0

F0 ρ
cos (λz) ρ · φ + [F0 sen (λz)] z · φ = 0,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
a

ya que ρ, φ y z son ortogonales entre sí y el producto escalar entre ellos se anula.
ˆ ˆ ˆ
(c) Calcular la misma integral utilizando el teorema delrotacional.
Solución: El teorema del rotacional indica que
F · dr =

× F · dσ.

El vector dσ debe ser perpendicular a la superficie que en este caso es un círculo en el plano z = aπ/2. Por
ˆ
tanto va dirigido según el eje z. Como × F va en la dirección φ, tal como vimos en el apartado (a), el
producto escalar
× F · dσ = 0,
por lo que se confirma que la circulación es cero, ya que la integral desuperficie lo es.

2
(d) Calcular mediante una integral de superficie el flujo neto Φ de F a través de la superficie cerrada definida
a partir de las superficies cilíndricas ρ = a y ρ = 2a y los planos z = ±aπ/2
F · dσ.

Φ=
S

Solución: La integral de superficie será la suma de cuatro integrales de superficie, cada una extendida a las
superficies externa (ρ = 2a), interna (ρ = a), superior (z= aπ/2) e inferior (z = −aπ/2):
F · dσ = I1 + I2 + I3 + I4 ,

Φ=
S

donde
F · dσ,

I1 =
ρ=2a

F · dσ,

I2 =
ρ=a

F · dσ,

I3 =
z=a π
2

F · dσ.

I4 =
z=−a π
2

Calculemos cada integral por separado:
aπ
2

2π

F · dσ =

I1 =

−a π
2

ρ=2a
aπ
2

2π

=

dz

ρdφ

−a π
2

0

2

F0 (2a)
sen
λa

0

aπ
2

= 2π
−a π
2

π
2

λa= 16π

aπ
2
−a π
2

aπ
2

2π

= −

dz
−a π
2

0

2

F0 (a)
sen
λa

λa

aπ
2

= −2π
−a π
2

π
2

= −4π
2a

z=a π
2

λa

λa

π
2

π
,
2

aπ
2
−a π
2

F0 ρ 2
2sen
λa

F0 a
sen
λ

λa

2π

cos (λz) dz
λa

π
2

π
,
2

ρdφF · z
ˆ
0

2π

dρ
a

2a

ρdφ [F0 sen (λz)] = F0 sen (λz)
0

= 2πF0 sen

2π

ρdρ
a= 2πF0 sen (λz)
π
λa
2

ρ2
2

dφ
0

2π

dρ
a

2a

=

F0 a
sen
λ

dφ
0

0

F · dσ =

I3 =

F0 ρ2
2sen
λa

F0 ρ
F0 ρ 2
ρdφ
cos (λz) = −
a
a

F0 ρ2 1
= −2π
sen (λz)
a
λ
= −4π

−a π
2

ρdφF · (−ˆ)
ρ

dz

ρ=a

2π

cos (λz) dz

2π

F · dσ =

I2 =

aπ
2

F0 ρ 2
F0 ρ
cos (λz) =
a
a

F0 ρ 2 1
sen (λz)
= 2π
a
λ
= 4πρdφF · ρ
ˆ

dz

2a

= 2πF0 sen (λz)
a

3a2
2

= 3πF0 a2 sen

4a2
a2
−
2
2
λa

π
,
2

dφ
0

3
2π

2a

F · dσ =

I4 =
z=−a π
2

0

a

2a

= −

ρdφF · (−ˆ)
z

dρ

2π

a

2a

ρdφ [F0 sen (λz)] = −F0 sen (λz)

dρ
0

a
2a

ρ2
2

= −2πF0 sen (λz)
= −2πF0 sen

2π

ρdρ

= −2πF0 sen (λz)
a

3a2
2

π
−λa
2

= 3πF0 a2 sen...