Asímptotes

H. Itkur

funcions-III -1/16

ASÍMPTOTES. Les asímptotes a una funció són rectes que donen una idea sobre el comportament de la funció quan les variables s’apropen a l'infinit. Donada la corba y= f(x) , direm que un punt P=(x0,y0) s'allunya indefinidament sobre la corba ⇔ P→ ∞ ⇔ P és de la corba y0=f(x0) i x0 i/o y0 tendeixen a ±∞. La recta r és una asímptota a y=f(x) ⇔ d(P,r)→0. P→∞TIPUS I CÀLCUL DE LES ASÍMPTOTES. Donada la corba y = f(x) diem que: La recta x = a és una asímptota vertical ⇔ lím f(x) = ±∞ . x→a± Observem que les asímptotes verticals, sols poden existir en els punts de discontinuïtat de la funció. P(x) Quan f(x) =  , sols hi poden haver asímptotes verticals en els zeros de Q(x). Q(x) La recta y = a és una asímptota horitzontal ⇔ lím f(x) = a o lím f(x) = a .x→∞ x→-∞ Es clar que, com a molt, hi ha dues asímptotes horitzontals. Una si anem cap a +∞ i l'altra per a -∞. P(x) Si f(x) =  sols hi ha una única asímptota horitzontal quan grau P(x)≤grau Q(x). Q(x) La recta y = mx + n és asímptota obliqua ⇔ f(x) ∃ m = lím  i ∃ n = lím (f(x) - mx) x→∞ x x→∞ f(x) o ∃ m = lím  i ∃ n = lím (f(x) - mx) x→-∞ x x→-∞ Observeu que les asímptotes horitzontals sónun cas particular de les obliqües, el que correspon a m=0. Es clar que com a molt hi ha dues asímptotes obliqües, una per + ∞ i l'altra per -∞. P(x) Si f(x)=  sols hi ha una única asímptota obliqua quan grau Q(x) = grau P(x)+1. Q(x)

H. Itkur

funcions-III -2/16

Exemples : • y= x2 2x − x 2 Verticals: Com és un quocient de polinomis, és contínua a tots els reals excepte quan 2x-x2=0 ⇒L'únic punt de discontinuïtat és el -1, per tant sols cal mirar per x=-1. x2 x2 x = lím = lím = 0 ⇒ el 0 és una lím 2 x → 0 2x − x x → 0 x(2 − x) x→ 0 2 − x discontinuïtat evitable ⇒ no hi ha asímptota vertical. 1 x2 1/4 = = ± ∞ ⇒ x = és una asímptota vertical. 2 2 x → 1 / 2 2x − x 0 lím Horitzontals : x2 1 = lím = −1 ⇒ 2 x → ∞ 2x − x x → ∞ 2/x − 1 ⇒ y = -1 és asímptota horitzontal Com lím Obliqües:no en té ja que asímptotes horitzontals.

•

y=

x3 (1 + x) 2 Verticals: L'únic punt de discontinuïtat és el -1, per tant sols cal mirar per x=-1. x3 −1 = = ± ∞ ⇒ x = -1 és asímptota vertical lím 2 x → -1 (1 + x) 0 Horitzontals : x3 = ∞ ⇒ no té asímptota horitzontal Com lím 2 x → ∞ (1 + x)

H. Itkur

funcions-III -3/16 y x3 = lím =1 x x → ∞ x(1 + x) 2

Obliqües:

m = lím
x→ ∞

x3x 3 − x3 − 2x 2 − x - 1·x = lím = -2 2 x → ∞ (1 + x) x→ ∞ (1 + x) 2 per tant la recta y = x - 2 és una asímptota obliqua. n = lím

DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT.
Donada la funció f:(a,b) →R i x0∈(a,b), diem que: x →y=f(x) f(x) - f(x 0 ) x→ x0 x - x0 d'aquest límit, en diem la derivada de f en x0 i el representem per f '(x0) o y ' (x0) o (df / dx) (x0). Si anomenem increment de x = ∆x = x-x0 i increment de y = ∆y = f(x) -f(x0) f és derivable en x0 ⇔ existeix lím f ' (x 0 ) = lím f(x 0 + ∆ x) - f(x 0 ) Δy = lím ∆ x→ 0 ∆ x→ 0 ∆ x ∆x

Exemple: __ Calculem a partir de la definició, la derivada de y=√ x en el punt d'abscissa 7. y' (7) = lím
x→ 7

x− 7 ( x − 7 )·( x + 7 ) = lím ⇒ x→ 7 x− 7 ( x − 7)·( x + 7 )
y' (7) = lím
x→ 7

x− 7 ( x − 7)·( x + 7)

= lím
x→ 7

1 x+ 7=

1 2 7

H. Itkur

funcions-III -4/16

FUNCIÓ DERIVADA - DERIVADES SUCCESSIVES. Donada la funció f:(a,b)→R , diem que: f és derivable a l'interval (a,b) ⇔ és derivable a tots els punts de l'interval. Si una funció és derivable a l'interval (a,b), podem considerar una altra funció que assigna a cada x0 el valor de la derivada de f en aquest x0 (a,b) → R x → derivada de f en x =f '(x) d'aquesta funció en diem funció derivada de f i la representem per: f ':(a,b) → R x → f '(x) Observeu que f ' és una funció real de variable real i, per tant, pot ser (no n'està pas obligada) que sigui derivable. Si f ' és derivable a l'interval (a,b), podrem parlar de la derivada de f ' que en direm derivada segona o f ". f ":(a,b)→ R x → derivada de f ' en el punt x f...