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INTRODUCCIÓN:

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que
[pic]

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale ahallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:[]
[pic]

Métodos de integración

Integración por partes

Permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
[pic]

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
[pic].
[pic]
[pic].
Eligiendo adecuadamente los valores de [pic]y [pic], puede simplificarse mucho laresolución de la integral.
• Para elegir la función [pic]se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:
1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente...
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.
2. Logarítmicas, Inversas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales.Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda
3. Inversas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas.
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda.

Notas

Para cada función f(x) existe una infinidad de funciones que tienen a f(x) por derivada, y por tanto hay una infinidad de soluciones a la integral ∫f(x) dx. Todasestas soluciones difieren por una constante. Por ejemplo: x²+5, x²-20, x²+ 13.41 son tres soluciones para ∫ 2x dx-.
De este modo, si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier función de la forma F(x)+C también lo es. Esto se representa como ∫ f(x)dx = F(x)+C pero por simplicidad de la presentación se omite la constante arbitraria C en cada uno de los ejemplos.

Ejemplo

[pic][pic]

[pic]

[pic]

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Método de integración por sustitución

Elmétodo de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadenaen la derivación.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:
[pic]
En la integral reemplazamos [pic]con (u):
[pic](1)
Ahora necesitamos sustituir también [pic]para que la integral quede sólo en función de [pic]:
Tenemos que [pic]por tanto derivando se obtiene [pic]
Se despeja [pic]y se agrega donde corresponde en (1):
[pic]
Simplificando:
[pic]
Debemosconsiderar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración.Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo [pic] :
[pic](límite inferior)
[pic](límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
[pic]

Integración Mediante Fracciones Parciales
 
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas facil, en donde la...
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