Autovectores
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Escuela T´cnica Superior de Ingenier´ Civil e Industrial (Esp. en Hidrolog´ e ıa ıa)
Fundamentos Matem´ticos de la Ingenier´ a ıa.
Tema 4: Diagonalizaci´n de matrices. o Curso 2008-09
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Introducci´n o
En este tema analizaremos el concepto de matriz diagonalizable, y su aplicaci´n al ´lgebra matricial o a
2Autovalores y autovectores.
Sea A ∈ Mn (R), una matriz cuadrada. Decimos que λ ∈ R es un autovalor o valor propio de A si existe un vector columna v = 0 tal que A · v = λv. El vector v se llama autovector o vector propio asociado al autovalor λ. El conjunto de todos los autovectores asociados a un mismo autovalor se llama autoespacio o subespacio propio, y se denota por V (λ). • Ejemplo. 1. λ = 1 esautovalor de la matriz A = A·v = 2 1 2 1 1 2 1 2 , con autovector asociado v = 1 −1 1 −1 1 −1 . En efecto:
=
= v. t −t
´ Pero v no es el unico autovector asociado a λ = 1. Si t ∈ R, el vector vt = autovector asociado al mismo autovalor: A · vt = 2 1 1 2 t −t = t −t = vt .
tambi´n es un e
De hecho, el autoespacio correspondiente a λ = 1 es V (1) = t 1 −1 , t∈R .
1 2 0 2 0 .Calculemos los correspondientes autovectores. Si 2. λ = −1 es autovector de A = 0 −2 −2 −1 x v = y , debe verificarse que z 1 2 0 x x 2 0 y = − y = −v A·v = 0 −2 −2 −1 z z es decir 2x + 2y = 0 3y = 0 −2x − 2y = 0
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Resolviendo el sistema se obtiene que x = y = 0, pero no hay ninguna condici´npara z. Por tanto, los o 0 autovectores son de la forma 0 . Es decir, z 0 V (−1) = z 0 , z ∈ R . 1
El conjunto de autovalores de la matriz A se llama espectro de A y se denota por σ(A). En lo que sigue aprenderemos la t´cnica necesaria para averiguar si una matriz cuadrada posee, y en su caso e cu´ntos, autovalores, as´ como su correspondiente c´lculo. a ı a Comenzamoshaciendo notar que el hecho de que una matriz A ∈ Mn (R) posea autovalores y autovectores depende de la existencia de soluciones para la igualdad Av = λv. Pero esta igualdad es equivalente a (A − λI)v = 0, es decir 0 v1 (a11 − λ) a12 ··· a1n v2 0 a21 (a22 − λ) · · · a2n A= ··· = ··· ··· ··· ··· ··· 0 vn an1 an2 · · · (ann − λ) Este sistema es homog´neo,por lo que para que tenga soluci´n distinta de la trivial (v = 0) es necesario y e o suficiente que el determinante de la matriz del sistema sea cero (a11 − λ) a12 a21 (a22 − λ) ··· ··· an1 an2 ··· a1n ··· a2n ··· ··· · · · (ann − λ)
A=
=0
El desarrollo del determinante anterior genera un polinomio en λ de grado n, el cual se denota por p(λ) = det(A−λI), y se denomina polinomio caracter´ıstico de la matriz A. Por lo tanto una matriz cuadrada de orden n tiene n autovalores que coinciden con los ceros de su polinomio caracter´ ıstico, siempre y cuando admitamos que puedan ser complejos y los contemos teniendo en cuenta su multiplicidad. • Ejemplos. Obtener los autovalores y autovectores de las matrices siguientes. 1. A = 2 1 1 2 . A − λI = 2−λ 1 1 2−λ , por lo que el polinomiocaracter´ ıstico ser´ a = (2 − λ)2 − 1 = λ2 − 4λ + 3
p(λ) =
2−λ 1
1 2−λ
Los autovalores son las soluciones de λ2 − 4λ + 3 = 0, es decir λ = 1 y λ = 3, lo que implica que el espectro de A es σ(A) = {1, 3}. Pasemos ahora a calcular los autovectores.
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λ=1 Los autovectores v = x y son soluciones del sistema 2 1 o lo que eslo mismo x+y =0 x+y =0 de donde obtenemos que y = −x, por lo tanto V (1) = x 1 −1 , x∈R . 1 2 x y = x y
λ=3 Al igual que antes, los autovectores v = 2 1 es decir x y 1 2 son soluciones del sistema x y =3 x y
−x + y = 0 x−y =0 x 1 1 , x∈R . 2 2−λ −2 0 0 −1 − λ
luego y = x, por lo que V (3) = 1 2. A = 0 −2 2 0 2 0 . −2 −1 1−λ 0 −2
1−λ 0 A − λI = −2 2 2−λ −2 0 0 −1 − λ...
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