Aventuras de un duende en el mundo de las matematicas

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  • Publicado : 1 de diciembre de 2011
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AVENTURAS DE UN DUENDE EN EL MUNDO DE LAS MATEMATICAS
“Los sólidos platónicos: son solo cinco”
Era otoño y llovía en la calle Albatros. Sarando, un duende que recién había elegido su nueva morada, se resguardaba dentro de su cueva subterránea en el jardín de la familia Portes. Don Joaquín Portes, un matemático que trabaja para Delta-mat, empresa que produce juegos matemáticos en CD-ROM paraniños, se cubria aquella tarde de otoño con una gabardina y su paraguas azul mientras bajaba del coche al regresar de su oficina, cuidando que no se mojaron los libros que había recogido de la biblioteca. Estos libros los había seleccionado para buscar nuevas ideas para los juegos que programa en Delta-Mat.
Sarando, apenas asomado desde su cueva, alcanzo a distinguir la portada de uno de aquelloslibros y con dificultad leyó una frase incompleta en el titilo de uno de ellos “..son solo cinco..” La portada tenía una ilustración con los que se antojaba jugar, Sarando de naturaleza curiosa y juguetona se quedo muy inquieto por averiguar que maravillosos cinco juegos contendría aquel libro.
Sarando como todos los duendes era pequeño su altura no rebasaba el medio metro; tuvo que treparse en unasilla para poder brincar al escritorio y con avidez reviso los libros que se encontraban en este punto. Pudo ver la portada que tanto había llamado su atención. Tenia ilustraciones de unos juguetes con formas muy regulares y colores vistosos; parecían objetos de armar: tres estaban hechos con triángulos otro con cuadrados y otro mas con pentágonos y tenían un aspecto muy regular y simétrico. Ellibro se titulaba LOS SOLIDOS PLATONICOS: SON SOLO CINCO. En el primer lugar encontró el retrato de alguien llamado Leohard Euler; al verlo, su curiosidad se despertó aun mas detectaba en el un cierto aire familiar
Los sólidos platónicos: son solo cinco
Los solidos platónicos son los únicos cinco poliedroa regulares que es posible construir. Un poliedro regular es un solido cuyas caras poligonalesson todas iguales. Platon descubrió que solo hay cinco de ellos. Antes de enumerarlos, solo hay cinco de ellos.
A cada poliedro aunque no sea regular le asocio Euler un numero denotado por la letra griega x, El cual definió mediante la formula
X= V – A + C,
En la que V representa el numero de vértices, A el numero de aristas y C el numero de caras del poliedro.
Euler demostró que estenúmero, sea cual fuere el poliedro que se trate, regular o no es siempre igual a 2.
¿Qué implicaciones tiene el numero de Euler?
La regularidad de un poliedro implica entre otras cosas que todas sus caras son iguales, las cuales pueden ser triángulos cuadrados pentágonos, etc. Para cada vértice podemos tener un numero distinto de caras que incidan en el; sin embargo, por la regularidad del poliedro,este numero es siempre el mismo para cada vértice y tiene que ser al menos 3, ya que nunca son solo 2 los polígonos que inciden en un vértice. Llamemos n a este numero.
Analicemos que las caras son triangulos. Si c es el numero de caras, tenemos que cada cara tiene 3 vertices, es decir si tomamos las caras por separado, tendríamos 3C vértices: pero como estamos suponiendo que son n caras las queinciden en cada vértice, debemos dividir 3c entre ese numero n, es decir, debemos tener 3C/n vértices. Cada cara tiene 3 aristas por lo que si tomamos las caras por separado tendríamos 3C aristas; pero en cada arista inciden exactamente 2 caras (no pueden ser mas ni menos) por lo que debemos tener 3C/2 aristas. Asi la formula de Euler, que exige que x sea igual a 2 implica que
2= 3c – 3c + C
n2

= ( 3 – 3 +1) C
n 2

= 6 – 3n + 2n C
2n

= 6 – 3n + 2n C
2n

De lo cual se obtiene que, cuando las caras son triángulos, el numero de ellas esta dado por
C= 4n .
6- n
Así deducimos que como (6-n) no puede ser cero ni negativo, n puede ser a lo más 5; es decir, los posibles valores de n...
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